Xosmas integrallarning umumiy holi

3⁰. Qatorning yaqinlashuvchiligi. Koshi teoremasi.
Faraz qilaylik,

qator berilgan bo`lsin. Ma`lumki, bu qatorning yaqinlashuv-chiligi ushbu

ketma-ketlikning da chekli limitga ega bo`lishidan iborat.
9-ma`ruzada sonlar ketma-ketligining chekli limitga ega bo`lishi haqida Koshi teoremasi, ya`ni ketma-ketlikning da chekli limitga ega bo`lishi uchun
da
tengsizlikning bajarilishi zarur va etarli ekani kelti-rilgan edi.
Bu tushuncha va tasdiqdan qator yaqinlashuvchiligini ifodalaydigan quyidagi teorema kelib chiqadi.
Teorema (Koshi teoremasi). qator yaqinlashuvchi bo`lishi uchun son olinganda ham shunday topilib, va bo`lganda
(5)
tengsizlikning bajarilishi zarur va etarli.
Eslatma. Agar qator uchun (5) shart bajarilmasa, ya`ni

(6)
bo`lsa, u holda qator uzoqlashuvchi bo`ladi.
5-misol. Ushbu

qator yaqinlashuvchilikka tekshirilsin.
◄ Bu qator uchun Koshi teoremasidagi (5) shartning bajarilishini tekshiramiz :


Agar songa ko`ra deb olinsa, u holda va lar uchun

bo`ladi. Demak, berilgan qator yaqinlashuvchi. ►
6-misol. Ushbu
(7)
qator yaqinlashuvchilikka tekshirilsin.
◄ va ixtiyoriy uchun bo`lganda

bo`ladi.
(6) shartga ko`ra (7) qator uzoqlashuvchi bo`ladi. ►
Odatda, (7) qator garmonik qator deyiladi. Demak, garmonik qator uzoqlashuvchi qator.


Mashqlar

1. 
   Ushbu
   

qatorning yaqinlashuvchiligi isbotlansin, yig`indisi topilsin.

2. 
   Agar
   

qator yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda

qatorning ham yaqinlashuvchi bo`lishi isbotlansin.