Xosmas integrallarning umumiy holi

48-ma`ruza

Xosmas integrallarning umumiy holi

1⁰. CHegaralanmagan funksiyaning cheksiz oraliq bo`yicha xosmas integrali tushunchasi. Faraz qilaylik, funksiya oraliqda berilgan bo`lib, nuqta uning maxsus nuqta-si bo`lsin.
Ayni paytda, bu funksiya istalgan chekli oraliqda integrallanuvchi, ya`ni

integral mavjud bo`lsin.
Ma`lumki, da funkiyaning limiti mavjud bo`lsa, uni chegaralanmagan funksiyaning xosmas integrali deyilib,

kabi belgilanar edi:
. (1)
Aytaylik, funksiyaning oraliq bo`yicha xosmas integrali mavjud bo`lsin. Ravshanki, bu integral ga bog`liq bo`ladi.
Agar da ning limiti mavjud bo`lsa, bu limit funksiyaning oraliq bo`yicha xosmas integ-rali deyilib, uni kabi belgilanar edi:
. (2)
(1) va (2) munosabatlardan topamiz:
. (3)
Bu (3) munosabat chegaralanmagan funksiyaning cheksiz oraliq bo`yicha xosmas integralini ifodalaydi.
2<sup>0</sup>. integral va uning yaqinlashuvchanligi. Ravshanki, bu integral ga bog`liq. bo`lganda, nuqta integral ostidagi funksiyaning maxsus nuqtasi bo`ladi. Demak,

integral chegaralanmagan funksiyaning cheksiz oraliq bo`yicha xosmas integrali.
Qaralayotgan integralni quyidagicha

yozib, tenglikning o`ng tomonidagi integrallarning har birini alohida-alohida yaqinlashuvchilikka tekshiramiz.
Ushbu

integralda, integral ostidagi funksiya uchun

tengsizliklar o`rinli bo`ladi.
Ma`lumki,

integral , ya`ni bo`lganda yaqinlashuvchi, , ya`ni bo`lganda uzoqlashuvchi.
Demak,
va
integrallarda

bo`lib, bo`lganda integral yaqinlashuvchi. Unda taqqoslash haqidagi teoremaga ko`ra bo`lganda

integral yaqinlashuvchi bo`ladi.
Endi

integralni yaqinlashuvchilikka tekshiramiz.
Ushbu
va
integrallarni qaraylik. Ravshanki, integral yaqinla-shuvchi. Ayni paytda,

bo`lganligi sababli, 44-ma`ruzada keltirilgan tasdiqqa ko`ra

integral ning ixtiyoriy qiymatlarida yaqinlashuvchi bo`ladi.
Demak, berilgan integral

bo`lganda yakinlashuvchi bo`ladi.