10. Uzluksizligi. 20. Differensiallanuvchanligi. 10. Uzluksizligi

Chegaralari o’zgaruvchi bo’lgan aniq integrallar

REJA
1⁰. Uzluksizligi.

2⁰. Differensiallanuvchanligi.
1⁰. Uzluksizligi. ([1], 11.9 The two fundamental theorems of calculus, 338-bet) funksiya oraliqda integrallanuvchi bo’lsin. U holda aniq integrallning 1)– xossasiga ko’ra funksiya istalgan oraliqda ham integrallanuvchi bo’ldi. Ravshanki,

integral ga bog’liq. Uni deb belgilaymiz:

Endi funksiyaga ko’ra funksiyaning xossalarini (uzluksizligi, differensiallanuvchi bo’lishini) o’rganamiz.
8—teorema. Agar funksiya oraliqda integrallanuvchi bo’lsa, funksiya shu oraliqda uzluksiz bo’ladi.
◄ funksiya integrallanuvchi bo’lgani uchun bo’ladi. nuqta olib, unga shunday orttirma beraylikki, bo’lsin. U holda funksiyaning orttirmasi uchun quyida-giga ega bo’lamiz:

Aniq integrallning 7)–xossasidan foydalanib, topamiz:

Demak,

Bundan esa

limit kelib chiqadi. bo’lganda ham xuddi yuqoridagiga o’xshash bo’lishi ko’rsatiladi. Bu esa funksiyaning nuqtada uzluksizligini bildiradi. ►
2⁰. Differensiallanuvchanligi.
9—teorema. ([1], Theorem 11.9.1 (First Fundamental Theorem of Calculus, 338-bet) Agar funksiya oraliqda integrallanuvchi bo’lib, nuqtada uzluksiz bo’lsa, u holda funksiya nuqtada differensialanuvchi bo’ladi va
.
◄ funksiyaning nuqtadagi orttirmasi:

ni olib, quyidagi

ayrimani qaraymiz. Aniq integrallning xossalaridan foydalanib topamiz:

Bu munosabatdan

tengsizlik kelib chiqadi
Shartga ko’ra funksiya nuqtada uzluksiz. Ta’rifga asosan, olinganda ham shunday son topiladiki bo’lganda bo’ladi. Agar deb olsak, u holda uchun

bo’ladi. Natijada tengsizlik quyidagi

ko’rinishga keladi. Demak,
.
Bundan

ya’ni

tenglik kelib chiqadi. Yuqordagidek bo’lganda

ya’ni

tenglik ham o’rinli bo’lishi ko’rsatiladi. ►
Agar funksiya oraliqda integrallanuvchi bo’lib, va nuqtalarda uzluksiz (bunda funksiyaning da o’ngdan da esa chapdan uzluksizligi tushuniladi) bo’lsa, u holda

bo’lishi yuqoridagiga o’xshash ko’rsatiladi.
6–natija. funksiya oraliqda uzluksiz bo’lsa, u holda uchun

bo’ladi.
Demak, oraliqda uzluksiz funkisya shu oraliqda boshlang’ich funkisyaga ega, jumladan funksiya ning dagi boshlang’ich funksiyasi bo’ladi.
Endi quyi chegarasi o’zgaruvchi bo’lgan integralni qaraymiz. funkisya oraliqda integrallanuvchi bo’lsin. U holda bu funksiya oraliqda ham integrallanuvchi va bu integral ga bog’liq bo’ladi. Uni

deb belgilaymiz. Aniq integral xossasidan foydalanib topamiz.
.
Bundan esa

bo’lishi kelib chiqadi. Bu tenglik funksiyaning xossalarini hamda funksiyalarning xossalari orqali o’rganish mumkinligini ko’rsatadi. Jumladan, agar funksiya oraliqda uzluksiz bo’lsa, u holda

bo’ladi. Haqiqatan ham, bu holda mavjud va u chekli son, funksiya esa yuqorida keltirilgan teoremaga ko’ra da hosilaga ega bo’ladi.