10-Ma’ruza Mavzu: Volterraning birinchi tur integral tenglamalarini yechish

10-Ma’ruza
Mavzu: Volterraning birinchi tur integral tenglamalarini yechish

Ma’lumki, ushbu

Integral tenglama birinchi tur Volterra tenglamasi deb ataladi; bu yerdagi f(x) ozod xad I(a ) kesmada va K(x,t) yadro esa uchburchakda uzluksiz deb hisoblanadi. (1) tenglamadan ko’rinadiki agar u uzluksiz yechimga ega bo’lsa, integral ishorasi ostidagi K(x,t)u(t) ko’paytma ham uzluksiz bo’ladi. U holda agar integralning yuqori chegarasidagi x o’rniga a sonni qo’ysak, ya’ni x=a desak, tenglamaning chap tomoni nolga aylanadi, demak o’ng tomoni ham nolga aylanishi kerak. Shu sababli f(a) = 0 bo’lishi shart. Shubxasiz, agar shu shart bajarilmasa, ya’ni f(a) bo’lib qolsa, (1) tenglamaning yechimi mavjud emas.
Odatda, (29) ko’rinishidagi tenglamalani yechish uchun uni ikkinchi tur tenglamaga keltiriladi. Buning uchun (29) ni parametr x bo’yicha, (28) formulaga asoslanib, differensiallaymiz, u holda

kelib chiqadi. Bu yerda ikki xoldan biri uchrashi mumkin:

1. 
   (a ) kesmada va K(x,x) hosilalar mavjud. Bunday holda (30) tenglamaning ikkala tomoni K(x,x) ga bo’linsa, ikkinchi tur integral tenglama hosil bo’ladi. Unday tenglamalarni yechish usullari oldingi paragraflardan bizga ma’lum.
   

Hozir biz (30) tenglamaning yechimi (29) tenglamaning ham yechimi bo’lib qolishini ko’rsatamiz. Buning uchun (30) tenglamaning yechimi u(x) = bo’lsin deb faraz qilamiz. Bu funksiyani o’sha tenglamaga qo’ysak,

Ayniyat hosil bo’ladi. (31) ning ikki tomonini x bo’yicha integrallab uni quydagicha yozamiz:

Shartimizga muvofiq f(a)=0 edi. Chap tomondagi ifodada bir marta integrallash bajarish mumkin. Natijada quydagi ayniyat hosil bo’ladi:

Buni berilgan (29) tenglama bilan solishtirsak, funksiya uning yechimi ekanini ko’ramiz.

2. 
   Agar I intervalda K(x,x) bo’lib qolsa, (31) dan yana quydagi birinchi tur integral tenglama kelib chiqadi:
   

Bunda ham funksiya sohada va funksiya I kesmada uzluksiz deb faraz qilinadi, hamda =0 bo’lishi kerak.
Yuqoridagi (33) tenglamani yana parametr x bo’yicha differensiallaymiz, u holda

Tenglama kelib chiqadi. Bu yerda ham (30) dagi kabi ikki holdan birining uchrashi mumkin bo’lgani uchun o’wa usulda tekshirib ko’rish tavsiya etiladi.
1-misol. Ushbu

Tenglama berilgan, bunda
f(x) =
demak,
f(a)=f(0)=0, K(x,x)
Tenglamani x bo’yicha differensiallab so’ngra ikkiga qisqartrsak,

Bundan yana bir marta hosila olamiz:
u(x) +
Bu esa ikkinchi tur Volterra tenglamasi bo’lib, uning qanday yechilishi oldingi paragraflardan bizga ma’lum. Bu tenglamaning yechimi
u(x) = 2(1-e^-x)
bo’ladi.
So’ngra tenglamani boshqa usul bilan yechish ham mumkin. Buning uchun tenglamaning ikki tomonidan x bo’yicha hosila olish kifoya:
u^'(x)+u(x) = 2.
Bu birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama bo’lib, uni ma’lum usullar bilan yechish mumkin.
2-misol. Ushbu

tenglama berilgan.
Dastlab tenglamaning ikki tomonidan x bo’yicha hosila olib soddalashtiramiz, natijada
hosil bo’ladi. Bundan ko’rinadiki, x=2 bo’lganda u(x) = 0 bo’lishi kerak. Bu quyida hosil bo’ladigan differensial tenglamani yechish uchun chegara sharti bo’ladi. Yana bir marta x bo’yicha differensiallab so’ngra soddalashtirsak, ushbu
(5-2x)u’(x)-u(x)=2
Chiziqli differensial tenglama kelib chiqadi. Uni ma’lum usullardan biri yordamida yechsak
u(x) = C
yechim hosil bo’ladi. Endi u(2) = 0 shartidan foydalanib ixtiyoriy C o’zgarmas sonni aniqlaymiz: C=2. Demak,
u(x)=2

1. 
   М.Салоҳиддинов “Интеграл тенгламалар”.
   
2. 
   М.Л.Красанов “Интегралние уравнения”, Наука М:1975
   
3. 
   Ш.Т.Мақсудов “Чизиқли интеграл тенгламалар элементлари” Тошкент “Ўқитувчи” 1975-й.