10-Ma’ruza Mavzu: Volterraning birinchi tur integral tenglamalarini yechish



Download 20,39 Kb.
Sana23.07.2022
Hajmi20,39 Kb.
#841455
Bog'liq
10 -МАЪРУЗА


10-Ma’ruza
Mavzu: Volterraning birinchi tur integral tenglamalarini yechish

Ma’lumki, ushbu



Integral tenglama birinchi tur Volterra tenglamasi deb ataladi; bu yerdagi f(x) ozod xad I(a ) kesmada va K(x,t) yadro esa uchburchakda uzluksiz deb hisoblanadi. (1) tenglamadan ko’rinadiki agar u uzluksiz yechimga ega bo’lsa, integral ishorasi ostidagi K(x,t)u(t) ko’paytma ham uzluksiz bo’ladi. U holda agar integralning yuqori chegarasidagi x o’rniga a sonni qo’ysak, ya’ni x=a desak, tenglamaning chap tomoni nolga aylanadi, demak o’ng tomoni ham nolga aylanishi kerak. Shu sababli f(a) = 0 bo’lishi shart. Shubxasiz, agar shu shart bajarilmasa, ya’ni f(a) bo’lib qolsa, (1) tenglamaning yechimi mavjud emas.
Odatda, (29) ko’rinishidagi tenglamalani yechish uchun uni ikkinchi tur tenglamaga keltiriladi. Buning uchun (29) ni parametr x bo’yicha, (28) formulaga asoslanib, differensiallaymiz, u holda

kelib chiqadi. Bu yerda ikki xoldan biri uchrashi mumkin:

  1. (a ) kesmada va K(x,x) hosilalar mavjud. Bunday holda (30) tenglamaning ikkala tomoni K(x,x) ga bo’linsa, ikkinchi tur integral tenglama hosil bo’ladi. Unday tenglamalarni yechish usullari oldingi paragraflardan bizga ma’lum.

Hozir biz (30) tenglamaning yechimi (29) tenglamaning ham yechimi bo’lib qolishini ko’rsatamiz. Buning uchun (30) tenglamaning yechimi u(x) = bo’lsin deb faraz qilamiz. Bu funksiyani o’sha tenglamaga qo’ysak,

Ayniyat hosil bo’ladi. (31) ning ikki tomonini x bo’yicha integrallab uni quydagicha yozamiz:

Shartimizga muvofiq f(a)=0 edi. Chap tomondagi ifodada bir marta integrallash bajarish mumkin. Natijada quydagi ayniyat hosil bo’ladi:

Buni berilgan (29) tenglama bilan solishtirsak, funksiya uning yechimi ekanini ko’ramiz.

  1. Agar I intervalda K(x,x) bo’lib qolsa, (31) dan yana quydagi birinchi tur integral tenglama kelib chiqadi:


Bunda ham funksiya sohada va funksiya I kesmada uzluksiz deb faraz qilinadi, hamda =0 bo’lishi kerak.
Yuqoridagi (33) tenglamani yana parametr x bo’yicha differensiallaymiz, u holda

Tenglama kelib chiqadi. Bu yerda ham (30) dagi kabi ikki holdan birining uchrashi mumkin bo’lgani uchun o’wa usulda tekshirib ko’rish tavsiya etiladi.
1-misol. Ushbu

Tenglama berilgan, bunda
f(x) =
demak,
f(a)=f(0)=0, K(x,x)
Tenglamani x bo’yicha differensiallab so’ngra ikkiga qisqartrsak,

Bundan yana bir marta hosila olamiz:
u(x) +
Bu esa ikkinchi tur Volterra tenglamasi bo’lib, uning qanday yechilishi oldingi paragraflardan bizga ma’lum. Bu tenglamaning yechimi
u(x) = 2(1-e-x)
bo’ladi.
So’ngra tenglamani boshqa usul bilan yechish ham mumkin. Buning uchun tenglamaning ikki tomonidan x bo’yicha hosila olish kifoya:
u'(x)+u(x) = 2.
Bu birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama bo’lib, uni ma’lum usullar bilan yechish mumkin.
2-misol. Ushbu

tenglama berilgan.
Dastlab tenglamaning ikki tomonidan x bo’yicha hosila olib soddalashtiramiz, natijada
hosil bo’ladi. Bundan ko’rinadiki, x=2 bo’lganda u(x) = 0 bo’lishi kerak. Bu quyida hosil bo’ladigan differensial tenglamani yechish uchun chegara sharti bo’ladi. Yana bir marta x bo’yicha differensiallab so’ngra soddalashtirsak, ushbu
(5-2x)u’(x)-u(x)=2
Chiziqli differensial tenglama kelib chiqadi. Uni ma’lum usullardan biri yordamida yechsak
u(x) = C
yechim hosil bo’ladi. Endi u(2) = 0 shartidan foydalanib ixtiyoriy C o’zgarmas sonni aniqlaymiz: C=2. Demak,
u(x)=2

  1. М.Салоҳиддинов “Интеграл тенгламалар”.

  2. М.Л.Красанов “Интегралние уравнения”, Наука М:1975

  3. Ш.Т.Мақсудов “Чизиқли интеграл тенгламалар элементлари” Тошкент “Ўқитувчи” 1975-й.

Download 20,39 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish