Векторное произведение векторов

Предложение 1. Векторное умножение антикомму-тативно, то есть для любых векторов
[a, b]=−[b, a].
Действительно, если
(x, a, b)=(x, d),
то
(x, b, a)=−(x, d)=(x, (−d)).
Получим теперь свойство линейности смешанного и векторного произведений по каждому из сомножителей.

Из равенств (5) следуют аналогичные тождества для остальных сомножителей.
(a, b, c) = (c, a, b) = (b, c, a) = −(b, a, c) = −(c, b, a) = −(a, c, b) (5)
Например, для второго сомножителя

Действительно, мы можем переставить интересующий нас со-множитель на первое место, раскрыть скобки, а затем выпол-нить обратную перестановку.
Предложение 2. Для любых векторов cилю-бых чисел λ и µ имеет место равенство
[λ +µ , c] = λ [ , c] + µ [ , c].
В самом деле, правой части формулы (6) можно придать вид

Поэтому

Так как это верно для любого вектора a, мы можем, выбрав ортонормированный базис подставить на место a последовательно каждый вектор этого базиса.
[λ + , c] и λ[ , c]+µ[ , c]
а отсюда и равенство век-торов, которое нам нужно было доказать.
Линейность векторного произведения по второму сомно-жителю можно получить из свойства антикоммутативности.
Предложение 3. Попарные векторные произведения [b, c], [c, a] и [a, b] векторов a, b и c линейно независимы тогда и только тогда, когда линейно независимы сами векторы a, b и c.
Действительно, если a, b и c все параллельны некоторой плоскости, то их попарные векторные произведения все перпендикулярны этой плоскости и значит коллинеарны.
Обратно, пусть векторы не компланарны, и (a, b, c) ≠ 0. Рассмотрим линейную комбинацию произведений λ[b, c]+µ[c, a]+ν[a, b]. Если она равна нулевому вектору, то умножим ее скалярно на a. Мы получим λ(a,b,c)=0, откуда следует, что λ=0. Аналогично, умножая на b, c и мы убедимся, что µ=0 и ν=0. Это означает, что рассматриваемые векторные произведения линейно независимы.
Пусть выбран базис . Как легко проверить, базис, составленный из векторов

Обратите внимание, что эти векторы не являются аксиальными, хотя и коллинеарны соответствующим векторным произведениям.