Векторное произведение векторов

Система координат — это совокупность определений, позволяющих определить положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов.
Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Мы уже рассказывали, как найти координаты точки.
Скаляр — это величина, которая полностью определяется в любой координатной системе одним числом или функцией.
Вектор — направленный отрезок прямой, для которого указано, какая точка является началом, а какая — концом.
Вектор с началом в точке A и концом в точке B принято обозначать как . Векторы также можно обозначать малыми латинскими буквами со стрелкой или черточкой над ними, вот так: .

Коллинеарность — отношение параллельности векторов. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой.


Определение
Вектор d, определенный условиями (1)
|d| = S = |a| |b|sinφ, где φ—угол между (1)
или, что то же, формулой (2)
(x, a, b)=(x, d). (2)
называетсявекторным произ-ведениемвекторов a и b. Векторное произведение векторов a и b обозначают [a, b] или a×b. Используя это обозначение, мы можем написать формулу (2) в виде
(x, a, b)=(x, |a, b|). (3)
Благодаря этому равенству смешанное произведение и полу-чило свое название.
Пример 1. Пусть — правый ортонормиро-ванный базис. Тогда при выбранной нами правой ориентации пространства
[ ] = , (3)
Если — левый ортонормированный базис, то
[ ] = ,
Подчеркнем, что для определения векторного произведе-ния необходим не только выбор единицы измерения длин, но, как и для смешанного произведения, необходим выбор ориен-тации пространства. В самом деле,при изменении ориентации левая часть формулы (2) меняет знак. При этом для сохране-ния равенства вектор d должен менять свое направление на противоположное. Это соответствует требованию того, чтобы тройка векторов d, b, c была положительно ориентирована.
Векторы, направление которых меняется при изменении ориента-ции пространства, называютсяаксиальнымивекторами. Из физиче-ских величин аксиальными векторами изображаются все те, в опре-деление которых входит «правило правой руки» или какое-либо экви-валентное ему. Числа, знак которых меняется, как знак смешанного
произведения, при изменении ориентации пространства, называются
псевдоскалярами. Заметим,что

• 
  Произведение аксиального вектора на псевдоскаляр — обычный вектор.
  
• 
  Произведение обычного вектора на псевдоскаляр — вектор аксиальный.
  
• 
  Векторное произведение обычного вектора и аксиального -
  

обыкновенный вектор.

• 
  Векторное произведение двух аксиальных векторов также аксиальный вектор.