В принципе достигнуть, либо применяя схемы пе слишком высокого порядка точности, реализуемые на подробных пространственно-временных сетках, либо существенно по­вышая порядок точности схем

§ 6.3. Сеточные аппроксимации уравнения для вихря
При изложении элементов основной схемы, структура которой намечена выше, существенными являются вопро­сы аппроксимации одномерных и двумерных дифферен­циальных операторов, в особенности конвективных состав­ляющих, способа решения двумерных разностных урав­нений, аппроксимации граничных условий, оптимизации, решения уравнения Пуассона на временном слое.
В этом параграфе рассматривается схема решения уравнения вихря. При этом будет предполагаться, что на границе области задано распределение вихря юг(0, изме­няющееся в общем случае по пространственной и времен­ной координатам. Вопросы аппроксимации граничных условий для вихря будут рассмотрены ниже в § 6.5.

1. 
   Одномерные аппроксимации. Область непрерыв­ного изменения аргумента заменим разностной сеткой с координатами #*, t_n. Введем обозначения /(яч, t_n) = /?, где i = 0, 1, 2, ..., N — 1; п = 0, 1, 2, ..К. Узлы прост­ранственной разностной сетки в общем случае будут рас­полагаться произвольно. Локальный пространственный шаг сетки будет при этом определяться разностью между координатами двух соседних узлов: h_{ = Ах\ = x_i+l — х_и Временная разностная сетка вводится в общем виде сле­дующим образом: т_п = t_n+i — t_n\ при этом £#= 2 ^тп- На
   

71—0
равномерной временной сетке с постоянным шагом т име­ем t_K = К%.
Обозначим
n
ft} ft} _
4+1 4 "о

П-fU

б tfi
⁺ⁱ-n
(
Ч-l

6.3.1)
С помощью этих формул дифференциальные операторы df/дх, df/dt аппроксимируются с погрешностью соответ­ственно 0{Ю, 0(т).
т
Структуру разностной схемы для уравнения вихря рассмотрим вначале для модельного одномерного уравне­ния переноса с диссипацией
д
(6.3.2)

(0 , , v д(о д²(о
»^t,w=V
Решение ищется в области 0 ^ я ^ 1, 0 при сле­
дующих начальных и граничных условиях:
©(я, 0) = ©°Ы, ю(0, t) = ©₀U), ©(1, t) = ©i(t).
Известной проблемой, возникающей при построении разностной схемы для уравнения (6.3.2), является аппрок­симация нелинейного конвективного члена и диу/дх. Ис­пользование для этой цели разностных выражений типа

6. 
   , называемых центральными разностями, приводит при малых значениях е к нарушению монотонности (см. гл. 4). Использование монотонной аппроксимации вида (4.3.20) позволяет получить системы алгебраических урав­нений, коэффициенты которых удовлетворяют достаточ­ным условиям устойчивости прогонок (п. 2.2.5). Однако такая аппроксимация имеет первый порядок точности и ее использование приводит к появлению значительной схемной вязкости, имеющей порядок v_h ~ uh/2.
   

Некоторым компромиссом является использование моно­тонной аппроксимации Самарского (см. п. 4.3.6), имеющей формально, т. е. при uh < 1, второй порядок точности. Специфика ее заключается в том, что нарушение послед­него условия в отдельных точках (например, зонах мак­симума скорости) не приводит к существенной интеграль­ной погрешности, в связи с чем эта аппроксимация на­ходит широкое применение. Использование этой аппрок­симации и формул (6.3.1) для уравнений (6.3.2) приводит к следующей схеме:
/flW-f-l _мп
—-—*- + 0,5м” (б⁺со?⁺¹ + 6~(0?⁺¹) - 0,51 и^п IX
хСб+юГЧб-соГ-¹)^ = е|г|_ц (б⁺ш?⁺¹ - б-шГЧ-Д^ ].
(6.3.3)
Здесь ti„ = (1+lwⁿ|fei|₂)^-1.
Такая запись обобщает все три указанные выше ап­проксимации, поскольку при |i = |s == 0 имеет место сим­метричная аппроксимация конвективных членов, при |i = 1, |s = 0 — односторонняя аппроксимация первого но-
рядка точности и при |₄ ** 1, |а^в 1/(2в) — аппроксимация
Самарского. Особенностью этой схемы является также временная «линеаризация» нелинейных конвективных членов, пригодная, вообще говоря, при малых временных шагах т. Усреднение аппроксимации конвективных чле­нов относительно и^п и' \и^п\ применяется для того, чтобы сделать схему не зависящей от знака скорости.
Схема (6.3.3) приводится к каноническому трехдиаго­нальному виду
- A^tl + В,соГ¹ - е^±1 = и, (6.3.4)
допускающему применение формул прогонки (см. п. 2.2.5), Коэффициенты в уравнении (6.3.4) имеют вид
(
^А{ = w ( !Г+⁺ I I ⁺ } ^с-- (та ⁺
Bi = Ai + Ci + 1, fi = со?.
6.3.5)
(6.3.6)
(6.3.7)
6.3.2. Двумерное уравнение вихря. Последовательное применение разностной аппроксимации, аналогичной

3. 
   , к двумерному уравнению вихря приводит к системе алгебраических уравнений, решение которой возможно лишь итерационным путем. Экономичным является упо­минавшийся выше метод переменных направлений, позво­ляющий свести решение двумерных уравнений к последо­вательности одномерных уравнений с трехдиагональными матрицами. Существует ряд методов, использующих эту общую идею и отличающихся некоторыми деталями (ме­тод переменных направлений,, метод расщепления, метод дробных шагов, локально одномерный метод [29], [14] и т. д.). Мы используем упоминавшийся выше метод пере­менных направлений (или метод продольно-поперечных! прогонок), общую структуру которого поясним на двумер­ном операторном уравнении вида
   

^- = (L₁₊.L₂)a> + *\
(
доз
6.3.8)
где Li и одномерные операторы, действующие по разным направлениям.
Решение уравнения (6.3.8) методом переменных на­правлений осуществляется в два этапа, которым соответ-
= L₁®+^+Z_a(0" ₊ ^_j (_б,3,9)
=
ствуют временные индексы п +1/2, га+1, а именно:
_wn+l/2 _ _шп ~

т/2
<0«+1 _ й)«+1/2
т/2
Z_l(o^n+1/2 + Г₂(о^п+1 + ?*⁺¹. (6.3.10)
Здесь 2/i, Г₂ — разностные одномерные операторы (см., на- пример, (6.3.3)). На первом этапе прогонками в одном из направлений находится решение со^п+1/2 на полуцелом временном слое; затем, используя это решение, осуще­ствляются прогонки по второму направлению для получе­ния искомого решения coⁿ⁺¹ на целом временном слое. Такая схема аппроксимирует двумерное нестационарное уравнение вихря с первым порядком точности. На уста­новившемся режиме решение не зависит от временного шага т, поэтому эта схема может использоваться и для решения стационарных задач «на установление».
Запишем с учетом (6.3.3), (6.3.9), (6.3.10) схему для решения двумерного нестационарного уравнения вихря:
_frtn +1/2 _ _rrtn
——■й ^U- + 0,5 (и -1 и I) (6+^1/2 + 8» <г^/2) +
. + 0,5t>(8y co”,j + Syco’jj) = в [il« (6^ to* +^1/2 — ^ю?+^1/2)х
X fr.jv._- + (SXi - Vр-"] + F⁷¹, (6.3.11)

о?*¹/²
-^— + 0,b(v-
У
т/2
|) (6+(Oj’j¹ — by (ОЙ¹) +
+ 0,5u (6+co?.i^1/a + ^1/2) =
= е + б. сой¹) TpfT~^ +
+ (8х(0Й^1/2 - 6Г(0Й^1/2) fr^-jfr--] + Fⁿ⁺¹. (6.3.12)
Здесь, в отличие от (6.3.&), для аппроксимации одномер­ных операторов используется только аппроксимация Са­марского. Коэффициенты ц_и и r\_v имеют вид
г\_и =* (1 + \u\h_i/(2s))~'¹_t y\_v = (1 + \v\y(2e))~^l.
Здесь, так же как и в одномерном случае (6.3.3), исполь­зуется аппроксимация конвективных членов, усредненная относительно и^п и \и^п\ (или vⁿ и \vⁿ\) для того, чтобы схема не зависела от знака скорости. Одномерные операто­ры на нижнем временном слое аппроксимируются сим-

метричными разностями. Оба разностных уравнения

5. 
   , (6.3.10) приводятся к стандартному трехдиаго­нальному типу.
   

Одним из наиболее важных вопросов, возникающих при решении уравнения вихря, является вопрос о вели­чине временного шага т (который при расчете стационар­ных задач «на установление» является итерационным параметром). Преимуществом неявных схем (6.3.11), (6.3.12), в отличие от явных схем, рассмотренных в § 6.2, является отсутствие ограничения на величину т из усло­вий устойчивости. Это преимущество остается в силе, если рассматривать уравнения (6.3.11), (6.3.12) как мо­дельные, вне связи с уравнением для функции тока и граничными условиями. При использовании же упомя­нутых схем в системе уравнений Навье — Стокса возни­кает ряд существенных ограничений на величину т, за­висящих в общем случае от способа решения уравнения для функции тока, способа аппроксимации граничного условия для вихря и других факторов. Конкретные сведе­ния будут даны в примерах, изложенных в §§ 6.6, 6.8 после завершения описания основной схемы.