В принципе достигнуть, либо применяя схемы пе слишком высокого порядка точности, реализуемые на подробных пространственно-временных сетках, либо существенно по­вышая порядок точности схем

= Ш, y, = jl_v т_п = гат,
где /г, Z — шаги еетки по координатам а?, у соответствен­но; т — шаг по времени; Z = 0, 1, M—i\ / = 0, 1,.... 1; л = 0, 1,
Введем следующее обозначение: - ф (ih, /7, пт) — Производные по пространственным переменным будем аппроксимировать центральными разностями, например,
а<р
_i+1,j — d²q> Фг+l.j — ²Фи + Ф{-1.,
дх ~ 2Л ’ ~ h² ’
‘Pt'.i+i — г д²ф — ²⁽Pi,j +‘Pi.i-I
ду ~ 21 ’ Sj,² ~ I² '
Производную по времени заменим разностным отноше­нием «вперед» в виде
5<р Ф?Г-Фи dt ~ х
З
°«+ij ~


2h


^ЫЬ+1 ~ <.i-i
21


W


M fe²


U+i ~ ²⁽⁰U + ^mU-i j
(6.2.4)

апишем, используя указанные аппроксимации, следую­щую явную схему для уравнения вихря (6.2.1):
З




21






2 h

десь
По этой схеме по известным в момент времени t_n зна­чениям полей функции тока (скорости) и вихря внутри расчетной области £2, включая ее границу, можно определить значения вихря в области £2, исключая ее границу, в следующий момент времени t_n+i = t_n + т. Свя­зи, определяемые схемой, имеют локальный характер, так как для определения величины со™*¹ требуется знать значения вихря на слое п в пяти точках: co£j, со*_+1>3-,
При определении вихря с помощью уравнения (6.2.4) требуется использовать те или иные условия для вихря на границе. Заметим, что условиями задачи вихрь на границе не задан, а заданы граничные условия для функ­ции тока (которые, вообще говоря, относятся ко всей системе (6.2.1), (6.2.2)).
Граничные условия для вихря можно получить, напри­мер, из уравнения для функции тока, считая его спра­ведливым вплоть до границы; тогда получим, например, для границы у = const:
Запишем вторую производную от функции тока в при­граничном узле следующим образом:
Рассмотрим разностную запись граничного условия дЦу/дп = 0 в виде
2 h
Подставляя выражение 442 из последней формулы в пре­дыдущую, получим, используя второе граничное условие г|\ © = 0, выражение для вихря на границе в виде
0
(6.2.5)

)"⁺¹ = 2
Значения поля вихря во всей области £2 в соответствии со схемой (6.2.4) и граничным условием (6.2.5) могут определяться различными способами: вдоль линий i
=iconst, вдоль линий /«const или последовательно по
отдельным участкам, начиная от той или иной границы области, что представляет определенные преимущества при реализации алгоритма в виде программы для ЭВМ.
Перейдем теперь к решению уравнения Пуассона для функции тока (6.2.2). В отличие от уравнения для вихря, это уравнение стационарно. Это значит, что для получе­ния решения системы (6.2.1), (6.2.2) на одном временном слое нужно решить стационарное уравнение (6.2.2), где правая часть— вихрь определена ранее. Для этого
мы применим простейший явный итерационный метод (см. § 2.5). Его можно сформулировать по аналогии с ре­шением нестационарного уравнения, если ввести фиктив-» пое время о следующим образом:
=
до
Дт|) — со.
Обозначая через s индекс внутреннего итерационного цикла, запишем схему для решения этого уравнения на временном слое п + 1 в виде