|
Bernulli sxemasi.Binomial taqsimot.
Ehtimollar nazaryasida Bernulli sxemasi deganda, o’zaro bog’liqsiz tajribalar ketma –ketligi tushuniladi va har bir tajriba natijasida biror A hodisaning ro’y berish yoki ro’y bermasligi kuzatiladi.Bu hodisaning ro’y berish ehtimolligi p=P(A) tajribaga bog’liq bo’lmaydi.
Bernulli sxemasi umumiyroq qilib quydagicha ham kiritish mumkin.Aytaylik , 2 ta {0,1} elementlaridan iborat bo’lgan bo’sh toplamdan qaytariladigansxema bo’yicha hajmi n ga teng bo’lgan tanlanmalar olaylik va bu tanlanmalar toplamini deb belgilaylik . ning ixtiyoriy elementi
bo’lib, 0 yoki 1 ga teng bo’ladi.
Barcha tanlanmalar soni | = va da quydagi manfiy bo’lmagan P( ) funksiyani aniqlaylik .Agar tanlanganda k ta 1 bo’lsa,
P( )= , 0
Bu P(*) funksiyani ehtimollik taqsimoti bo’lishi uchun
P( )=1
shart bo’lishi lozim.Haqiqatdan ham ,k ta 1 elementni tanlanmadagi n ta joyga ta usul bilan joylashtirish mumkin .Demak, k ta 1 ni o’ziga oluvchi tanlanmalar soni ham mana shu ga teng , ya’ni
}
deb olsak,
)= , (1)
Endi , lar ehtimollik taqsimoti bo’lishligi quydagi tenglikdan kelib chiqadi :
P( )= =1 (1)formula orqali aniqlangan ehtimolliklar binomial taqsimot deyiladi va bu taqsimotni quydagicha tushunish mumkin.Aytayik , n ta bog’liqsiz tajribalar ketma – ketligi davomida biror A hodisaning ro’y berishi yoki ro’y bermasligi kuzatilsin.Bitta tajribada A hodisaning ro’y berish ehtimolligi p=P(A) tajribalar nomerioga bo’liq bo’lmasin. Agar tajriba natijasida A hodisa ro’y bersa bu holatni “yutuq” deb tushunsak (aks holda “yutuqsiz “va uning ehtimolligi P( n ta tajribada “yutuqlar “ soni k ga teng bo’lish ehtimolligi bo’ladi.
Endi binomial taqsimotni k ga nisbatan qanday o’zgarishini o’rganaylik.Buning uchun quydagi nisbatni ko’ramiz :
Bu nisbat k o’sgan sari kamayadi va bo’lsa , u 1 dan katta bo’lsa, 1 dan kichik bo’ladi .Demak, ehtimollik olinadi k o’sganda manoton ravishda o’sadi, keyin bo’lganida esa kamayadi va
Bo’lganda maksimal qiymatga erishadi .Aytilganlardan kelib chiqadiki , n ta tajribada marta “yutuq” bo’lish ehtimoligi qolgan lardan katta bo’ladi ya’ni
Bernulli sxemasida “yutuqlar “ soni k dan katta bo’lmaslik ehtimolligi
tenglik bilan aniqlanadi va uni nisbatan orqali boholash mumkin. Haqiqat ham ,k
.
ko’rish qiyin emaski , n va k larning katta qiymatlarida , qiymati esa 1 dan farq qilganda deyarli aniq bo’ladi , chunki bu holda
(2)
taqribiy
Masalan ,n=30,p=0,7 , k=16 bo’lsin.Bu holda np=21 bo’lib,(1) formula bilan hisoblashlar ko’rsatadiki ,
Berilgan qiymatlar uchun
Emak, (2) munosabatning o’ng tomoni
0,023*1,84
Berilgan n,p,k larning qiymatlarida ni bevosita hisoblasak, tartibdagi aniqlik bilan 0,040 qiymatini hosil qilamiz .Bernulli sxemasi bilan bog’liq bo;lgan “tasodifiy joylashtirishlarga” taaluqli quydagi masalani ko’raylik.
Faraz qilaylik , 1-,2-,…,n- deb belgilangan n ta yacheyka –yacheykalarga N ta zarracha tashlansin (solinsin). Har bir zarracha n ta yacheykalardan xohlagan bittasiga tushishi mumkinligidan N ta zarrachani n ta yacheykalarga tashlashlarini usul bilan joylashtirish mumkin .Zarrachalarning yacheykalarga joylashtirishnin n ta elementdan iborat bosh toplamdan hajim N teng bo’lgan qaytarilgan sxema bo’yicha olingan tanlanmalar deb qabul qilinishi mumkin.U holda tanlanmalardan har biri ehtimollikga ega bo’ladi. Keltirilgan zarrachalarni yacheykalarga joylashtirish (“tushish”) sxemasi uchun i-yacheykaga k ta zarracha tushish ehtimolligini topaylik.i-yacheykaga tushmagan N-k ta zarrachalar ta usul bilan joylashtirishdi.Demak, klassik sxema bo’yicha topilish kerak bo’lgan ehtimollik
(3)
Bu yerda formuladan foydalaniladi va (3) dan ko’rinadikai ,bu ehtimollik p= bo’lgan Bernulli sxemasidagi ehtimollik bilan ustma- ust tushadi.
Binomial taqsimot formulasidan ko’rinadiki ,tajribalar soni n yetarlicha katta bo’lganida ehtimolliklarni hisoblashda qiyinchiliklar yuzaga keladi.Shuning uchun ham ga nisbatan sodda ko’rinishdagi asimptotik formulalarning zaruriyati yuzaga keladi Bumasalani p=q= bo’lgan holda Muavr , umumiy holda (p=q) esa Laplas hal qilganlar . Ular ishoralagna ikkita asimptototik formulalar quydagi Muavr –Laplas teoremasi ko’rinishida keltiriladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
