Urganch Davlat Universiteti Fizika-matematika fakulteti Matematika ta'limi yo`nalishi

Muavr-Laplas integral teoremasi.
A hodisaning n ta bog’liq bo’lmagan tajribalarining har birida ro’y berish ehtimolligi o’zgarmas va p(0
gacha ro’y berish ehtimolligi
P( quydagicha hisoblaniladi .
P(

Bu teoremaniisbotsiz qabul qilamiz .
2-misol.Ixtiyoriy olingan pillaning yaroqsiz chiqish ehtimolligi 0,2 ga teng. Tasodifan olingan 400 ta pilladan yaroqsizlar soni 70 tadan 130 tagacha bo’lish ehtimolligini toping .
Yechish:p=0,2; q=0,8; n=400; ;
U holda


Jadvaldan , chunki x>5 da
Demak



Limit teoremalari lokal teoremalar deyiladi.Quyida biz yuqorida keltirilgan Muavr-Laplas lokal teoremasini umumlashtirilgan variantida keltiramiz.
Kelgusida quydagi birlashmalardan foydalanamiz : agar ikkita ketma –ketlik { } va { } uchun bo’lsa , bu munosabatni
-
’rinishida belgilaymiz (bu ketma-ketliklar ekvivalent deyiladi).


Berilgan bo’lsin .Agar bu ketma-ketlikning elementlari bir xil taqsimlangan va

0

Bo’lsa u holda bu ketma –ketlik Bernulli sxemasini tashkil qiladi , deymiz. Haqiqatdan ham , Bernulli sxemasidagi k- tajribaning natijasiga mos keladi.Agar deb belgilansin . tasodifiy miqdor .Bernulli sxemasini biror A hodisaning ro’y berishlar sonini ifodalab ,uning taqsimoti
P(
Binomial taqsimoti bo’ladi. Bizga ma’lumki ,(1) formuladan n larni keltirib chiqaradi .Shuning uchun ham P( ehtimollik ning dagi asimptotikasini topish zaruriyati yuzaga keladi .
Shu maqsadda
H(x)=x ln
Funksiyani kiritamiz .

1. 
   Teorema .Agar ,n-k bo’lsa .
   

P(
Munosabat o’rinli bo’ladi va bu yerda =k/n .
Isbot . Analiz kursidan Stirling formulasi deb ataluvchi quydagi munosabat ma’lum :
n!- ,
Bu formuladan foydalanib quydagi ekvivalant munosabatlarni yozamiz .
P(

1-teorema isbot bo’ldi.
H(x) funksiyaning cheksiz differensiyanlanuvchi ekanligini ko’rish qiyin emas .Xususan,

O’z o’zidan ko’rinadiki ,H(p)= =0 va
Bo’lganda quydagi yoyilma o’rinli bo’ladi:
H( +O
Bu yoyilmada 1-teoremaga asosan kelib chiqadiki , ) va n bo’lsa
P(
Agar bo’lsa oxirgi ekvivalaentlik munosabatidan quydagi natija kelib chiqadi.
Natija :Agar z=n ) bo’lsa
P(
Keltirilgan ekvivalent munosabatni Muavr-Laplasning lokal limit teoremasi deb ham ataladi .Bu formula bo’lganda {
Agar tub ma’noda p dan farq qilsa , bu ehtimollikning oldingi keltirilgan natijalardan foydalanib baholash mumkin.
Misol .Aytaylik toq sondagi n-2m+1 hay’at azolaridan har biriboshqalariga bg’liq bo’lmagan holda p=0,7 ehtimollik bilan to’g’ri qaroar qabul qiladi.Ko’pchilik ovoz bilan qabul qilingan qarorning to’g’ri bo’lishining ehtimolligi 0,99 dan kam bo’lmasligi ta’minlaydigan hay’at a’zolarining minimal soni topilsin.
Yechish:Tasodifiy miqdor ,agar k- hay’at a’zosi to’g’ri qaror qabul qilsa , aksincha deymiz , agar k-hay’at a’zosi noto’g’ri qaror qabul qilsa .Masalaning ma’nosi bo’yicha bizni n ning shundek toq toq qiymatlari qiziqtiradiki , ular uchun P( 01 bo’lishi kerak.Tushunarlilik ,qabul qilingan qarorning aniqliligiga n ning katta qiymatlarida erishish mumkin.oldingi bo’limda keltirilgan natijalarga asosan ,
P(

Bularni hisobga olgan holda , ehtimollikni 1-teorema yordamida baholaymiz :
=a(n).

n!= , 1/(12n+1) <

2. 
   Teorema .Quydagi asimtotik formula o’rinli :
   

Bahosini ham topish mumkin.Buni quydagi teorema ko’rinishida keltiramiz.

3.