Universiteti fizika fakulteti

Tolqınnıń payda bolıwı. Tolqın teńlemesi

Tolqınlıq protsessler qubılıslardıń júdá keń klassın quraydı. Tolqınnıń payda bolıwı sistemanıń ayırım bólimleriniń arasındaǵı baylanıslardıń bar bolıwınıń saldarınan payda boladı. Usınıń saldarınan izolyasiyalanǵan protsess túsiniginiń ózi, álbette, uzaq abstraksiya bolıp tabıladı. Keńisliktiń qanday da bir bólimindegi bolıp ótetuǵın protsesstiń izolyasiyalanǵan protsess bolıwı salıstırmalı siyrek ushırasadı. Ádette ol sistemanıń qońsılas noqatlarına energiyanıń bazı bir muǵdarın berip sáykes ózgerislerge alıp keledi. Tásir bul noqatlardan qońsılas noqatlarǵa beriledi hám tolqındı payda etip noqattan noqatqa tarqaladı. Joqarıda keltirilgen tásirlerdi júzege keltiretuǵın baylanıslardıń tábiyatına baylanıslı biz anaw yamasa mına tábiyatqa iye tolqınǵa iye bolamız. Qálegen qattı, suyıq yamasa gaz tárizli deneniń elementleri arasındaǵı tásir etetuǵın serpimli kúshler denelerdegi serpimli (akustikalıq) tolqınlardıń payda bolıwına alıp keledi. Suwdıń gorizont betiniń buzılıwı suwdıń qońsılas uchastkaları arasındaǵı salmaq kúshi menen suyıqlıqtıń bóleksheleriniń jılısqaqlıǵınıń nátiyjesinde baylanıstıń bar bolıwınıń sebebinen betlik tolqınlardıń deregine aylanadı. Suyıqlıqtıń betiniń kishi ǵana deformatsiyası betlik qatlamdaǵı qubılıslardı payda etetuǵın molekulalıq kúshlerdiń bar bolıwınıń saldarınan kapillyarlıq tolqınlardıń payda bolıwınıń baslamasına aylanadı. Elektromagnetizm jáne elektromagnitlik induksiya nızamlarında orın alatuǵın elektromagnitlik baylanıslarǵa sáykes keńisliktiń qálegen bóliminde payda bolǵan elektromagnitlik awısıw keńisliktiń qońsılas bólimlerinde birdey buzılıwlardıń deregine aylanadı, olar onnan da keyingi orınlarǵa beriledi: elektromagnit tolqın payda boladı, onıń (Maksvell boyınsha) jaqtılıqtıń tezligindey tezlik penen tarqalıwı kerek.[2]
Tolqındı payda etetuǵın fizikalıq protsesslerdiń sheksiz kóp túriniń bar bolıwına qaramastan tolqınnıń payda bolıwı bir ulıwmalıq tip boyınsha ámelge asadı. Qanday da bir noqatta belgili waqıt momentinde orın alǵan awısıw bazı bir waqıttan keyin dáslepki noqattan bazı bir qashıqlıqta turǵan orında payda boladı, yaǵnıy belgili bir tezlik penen alıp beriledi. Ápiwayılıq ushın qanday da bir 𝑥 baǵıtında tarqalatuǵın awısıwdı (uyıtqıwdı) qaraymız. Biz awısıw 𝑠 ti koordinata 𝑥
penen waqıt 𝑡 nıń funksiyası sıpatında kórsete alamız: 𝑠 = 𝑓(𝑥, 𝑡). 𝑥 baǵıtında tarqalatuǵın uyıtqıwdiń argumentine 𝑥 penen 𝑡 shamaları (𝑣𝑡 − 𝑥) yamasa

𝑡 − ^𝑥
𝑣
túrinde kiretuǵın funksiya menen táriyiplenetuǵınlıǵın ańsat kóriwge

boladı. Haqıyqatında da, argumenttiń usınday qurılısı funksiyanıń 𝑥 noqatındaǵı hám 𝑡 waqıt momentindegi shamasınıń eger, tek
𝑣𝑡 − 𝑥 = 𝑣⁽𝑡 + 𝑑𝑡⁾ − (𝑥 + 𝑑𝑥) (1.1)
Demek, uyıtqıw 𝑑𝑡 waqıtı ishinde 𝑑𝑥 aralıǵına ^𝑑𝑥 tezligi menen tarqaladı.
𝑑𝑡


(1.1) qatnastan ^𝑑𝑥 = 𝑣, yaǵnıy tezliktiń 𝑣 ǵa teń ekenligi kelip shıǵadı.
𝑑𝑡
Solay etip, 𝑣𝑡 − 𝑥 argumentiniń qálegen funksiyası x baǵıtındaǵı sol x tıń úlkeyiw tárepine qaray turaqlı 𝑣 tezligi menen tarqalatuǵın uyıtqıwdıń tarqalıwın ańǵartadı. Tap usı sıyaqlı, 𝑣𝑡 + 𝑥 argumentiniń qálegen funksiyası qarama-qarsı tárepke qaray v tezligi menen tarqalatuǵın impulsti táriyipleydi. Qálegen t momenti ushın 𝑓 funksiyasınıń túri onı payda etetuǵın shártlerden ǵárezli boladı.
Tolqınlıq qozǵalıstı táriyipleytuǵın differensiallıq teńlemeniń, yaǵnıy
sheshimi argumenti 𝑣𝑡 + 𝑥 yamasa 𝑣𝑡 − 𝑥 bolǵan funksiya bolǵan teńlemeniń

𝜕²𝑠



𝜕𝑡²
𝜕²𝑠
_{= 𝑣}2
𝜕𝑥²

(1.2)

túrine iye bolatuǵınlıǵın kórsetiw qıyın emes. Haqıyqatında da,
𝑠 = 𝑓₁^{(𝑣𝑡 + 𝑥)} − 𝑓₂⁽𝑣𝑡 – 𝑥⁾ (1.3) túrindegi 𝑓₁ menen 𝑓₂ ler ıqtıyarlı funksiyalar bolǵan 𝑠 funksiyasınıń (1.2) teńlemeniń sheshimi ekenligin orınlarına qoyıw arqalı kórsetiw múmkin. Bul teńleme ekinshi tártipli differensiallıq teńleme bolǵanlıqtan tabılǵan eki ıqtıyarlı funksiyaǵa iye sheshim onıń ulıwmalıq sheshimi bolıp tabıladı. Bul sheshim 𝑣 tezligi menen bir birine qaray tarqalatuǵın eki tolqındı beredi. Differensiallıq
teńleme boyınsha 𝑓₁ menen 𝑓₂ funksiyasınıń arnawlı túri haqqında aytıwdıń hesh waqıtta múmkin emes ekenligi óz-ózinen túsinikli. Sonlıqtan (1.2) tipindegi differensiallıq teńleme tolqınnıń 𝑥 baǵıtında tarqalıwınıń múmkin bolǵan barlıq protsessin táriyipleydi. Mısal retinde elektr hám magnetizm kursında úyreniletuǵın elektromagnit tolqınnıńpayda bolıwı menen tarqalıwın qaraymız.

Ortalıqtaǵı qanday da bir orında ózgermeli elektr maydanıńıń payda bolıwınıń qorshaǵan ortalıqta ózgermeli magnit maydanıń payda etetuǵını belgili (elektromagnetizm). Ózgermeli magnit maydanı bolsa qorshaǵan keńisliktegi ózgermeli awısıw toqlarınıń payda bolıwına sáykes keletuǵın ózgermeli elektr maydanıń payda etedi (elektromagnitlik induksiya). Awısıw toqları bolsa ótkizgishtegi ádettegi ótkizgishlik toqlarınıń óziniń átirapında magnit maydanıń payda etkenindey magnit maydanıń payda etedi. Usınıń saldarınan keńisliktiń jańa oblastları elektromagnit maydanlarınıń tásir etiw oblastlarına aylanadı: bir orında payda bolǵan elektr terbelisleri lokalizatsiyalanǵan bolıp qalmaydı, al elektromagnit tolqınları túrinde keńisliktiń jańa uchastkalarına tarqaladı.
Bul protsessti boldıratuǵın elektromagnetizm hám elektromagnit induksiya qubılısları elektr (𝑬) hám magnit (𝑯) maydanlarınıń ózgerisleri arasındaǵı baylanıstı anıqlaytuǵın Maksvell teńlemelerinde óziniń qısqasha matematikalıq ańlatpasın tabadı. Tájiriybede alınǵan maǵlıwmatlarǵa sáykes Maksvelldiń tallawları elektrlik hám magnitlik vektorlardıń baǵıtlarınıń óz-ara perpendikulyar, al olardıń elektromagnit tolqınnıń tarqalıw baǵıtına perpendikulyar ekenligin kórsetedi. Tegis tolqın ushın eń ápiwayı jaǵdayda (bunday jaǵdayda 𝑬 vektorınıń baǵıtı 𝑧 kósherine, al magnit maydanı 𝑯 tıń baǵıtı 𝑦 baǵıtına sáykes keledi) Maksvellteńlemeleri mınaday túrge iye:

𝜇 𝑑𝐻



𝑑𝐸
= −
, ⁽1.4⁾

𝑐 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝜀 𝑑𝐸



𝑐 𝑑𝑡
𝑑𝐻
= −
𝑑𝑡

. (1.5)

Bul ańlatpalarda μ menen ε ortalıqtıń magnitlik hám diyelektriklik sińirgishlikleri, al 𝑐 bolsa shaması jaqtılıqtıń vakuumdegi tezligi bolǵan 3·10⁸ m/s shamasına teń toq kúshiniń elektromagnitlik hám elektrostatikalıq birlikleriniń qatnası bolıp tabıladı.
Biz keltirgen teńlemelerden qanday da bir orında payda bolǵan elektromagnit maydanıńıń keńislikte 𝑣 = 𝑐/_√𝜇𝜀 tezligi menen tarqalıwınıń zárúr ekenligi kelip shıǵadı. Haqıyqatında da (1.4) teńlemeni x boyınsha, al (1.5)
teńlemeni t boyınsha diffrensiallap hám olardan 𝐻 tı joǵaltıp

𝜕²𝐸 𝑐² 𝜕²𝐸
_𝜕𝑡2 = _{𝜀𝜇 𝜕𝑥2} (1.6)
teńlemesin, yaǵnıy 𝐸 elektr maydanıńıń keńislikte x kósheriniń baǵıtında 𝑣 =
𝑐/_√𝜇𝜀 tezligi menen tarqalatuǵınlıǵın kórsetetuǵın differensiallıq teńlemeni alamız. Demek, bul teńlemeniń sheshimi 𝐸 = 𝑓(𝑥 − 𝑣𝑡) túrindegi funksiya bolıp tabıladı (𝑓 arqalı ıqtıyarlı funksiya belgilengen). Tap usınday juwmaqtı magnit maydanı 𝐻 ushın da shıǵara alamız.
𝐸 menen 𝐻 arasındaǵı baylanıstı ańsat tabıwǵa boladı. Mısalı,
𝐸 = 𝑓(𝑥 − 𝑣𝑡) depboljap, teńlemeden



^{𝜇 𝑑𝐻} = −𝑓^′(𝑥 − 𝑣𝑡⁾ = ^{1 𝜕𝐸} = ^{√𝜇𝜀 𝜕𝐸}

Yamasa
𝑐 𝑑𝑡

𝑣 𝜕𝑡


𝑑𝐻 𝑑𝐸
𝑐 𝜕𝑡

yamasa
√^𝜇 _𝑑𝑡 ⁼ √^𝜀 _𝑑𝑡

√^{𝜇𝐻 =} √^{𝜀𝐸 + 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (1.7)}


Barlıq elektrodinamikalıq (demek, optikalıq) protsesslerde turaqlı maydan hesh qanday roldi orınlamaytuǵın bolǵanlıqtan, ulıwmalıqqa shek qoymay sońǵı ańlatpadaǵı turaqlı shamanı nolge teń dep esaplaw múmkin. Sonlıqtan
√^{𝜇𝐻 =} √^{𝜀𝐸 (1.8)}

qatnasına iye bolamız.

(1.8) qatnas 𝐸 menen 𝐻 shamalarınıń sızıqlı baylanısqan ekenligin, olardıń ekewiniń de maksimumlar menen minimumlar arqalı bir waqıtta ótetuǵınlıǵın kórsetip tur. Demek, elektromagnit tolqını ushın (serpimli tolqınlar sıyaqlı) tolqın tárizli ulıwmalıq 𝑣 = 𝑐/_√𝜇𝜀 tezligi menen tarqalatuǵın bir biri menen baylanısqan eki vektordıń jıynaǵına iye bolamız. 𝑬, 𝑯 hám 𝒗 vektorlarınıń óz-ara jaylasıwları 1.1-súwrette keltirilgen oń vintlik jaylasıwǵa sáykes keledi.[9]
Tolqın processin analitikalıq túrde qalayınsha táriyiplewdiń múmkin ekenligin úyreneyik.