Учебное пособие "Методика преподавания математики"

2.15. Методика изучений площадей плоских фигур

План
1. О понятии площади плоской фигуры.
2. Использование интеграла при нахождении площадей фигур.


1. О понятии площади плоской фигуры. Среди различных систем величин, изучаемых в школе на различных этапах обучения, учащиеся уже в начальной школе знакомятся с понятием площади плоской фигуры. Разумеется, на первых этапах обучения речь идет об интуитивном представлении, о площади, а не о строгом математическом обосновании этого поня­тия или аксиоматическом его введении. Первоначально у учащихся представление о площади плоской фигуры связывается с подсче­том числа единичных квадратов (т. е. квадратов, длины сторон ко­торых равны линейной единице измерения) или долей таких квад­ратов, которые можно разметить на данной фигуре. Изучение пло­щади в школе начинается с рассмотрения площади прямоугольника. Сначала изучается случай, когда стороны прямоугольника соизмери­мы с линейной единицей измерения, т. е. числовые значения длин сторон, выражаются положительными рациональными числами при одной и той же выбранной линейной единице измерения.
Программа курса геометрии предусматривает знакомство уча­щихся с вычислением площади любой плоской фигуры с помощью палетки. Использованием палетки позволяет сделать не только до­ступным для учащихся изучение вопроса об измерении площади любой плоской фигуры, но и помогает им правильно понять идею измерения площади, состоящую в подсчете числа квадратов, кото­рые укладываются на этой фигуре.
Знакомство с палеткой полезно начать с практической работы по измерению площадей фигур, указанных на географической карте:

/ вариант II вариант

Площадь Каспийского моря Площадь Аральского моря


III вариант IV вариант
Площадь Азовского моря Площадь Черного моря

Можно рекомендовать следующий порядок работы:

1. Наложить палетку на географическую карту так, чтобы она
полностью покрывала контур, ограничивающий заданную фигуру.
2. Подсчитать отдельно число квадратных единиц и их долей
внутри контура криволинейной фигуры.
Вычислить площадь заданного участка поверхности земли, используя масштаб карты.
Предложить учащимся дома сравнить найденное значение площади заданного участка поверхности земли со значением пло­щади поверхности этого участка, взятом из справочника (оценить абсолютную погрешность вычисления).
Сравнивая свойства площади со свойствами таких величин,
как расстояние, угол, можно получить убеждение в том, что, как и всякие величины:
а) площади можно складывать между собой и умножать на
положительные числа;
б) за единицу измерения площадей можно выбрать некоторую
площадь, поэтому S = К • U, где S — площадь фигуры; К —
числовое значение площади S; U — единичная площадь.
Вернувшись к результатам практической работы с палеткой, можно поставить учащимся вопросы:
1. Площадь, какой фигуры принималась за единичную пло­щадь?
2. Каким оказалось числовое значение площади в задаче каж­дого варианта (до перерасчета с помощью масштаба)?
Чтобы научиться находить площади различных неперекрываю­щихся многоугольников, принимаются без доказательства два свойства площади:
1. Конгруэнтные многоугольники имеют равные площади.
2. Если многоугольник составляется из неперекрывающихся многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.
Остается вспомнить, где в только что проведенной практичес­кой работе использовались эти свойства площади, и отметить, что многоугольники, имеющие равные площади, называют равновели­кими.
С помощью этих свойств можно вывести (обосновать) извест­ную формулу площади прямоугольника.
Наблюдая по таблицам за тем, как изменяется площадь прямо­угольника с изменением его сторон (или одной стороны), учащиеся приходят к выводу о том, что площадь прямоугольника зависит от длины его сторон. Затем формула S = а • b, где а и b — соответ­ственно длины сторон прямоугольника, выводится для целых а и b, для остальных же случаев ее справедливость пока принимается на веру.
Необходимо обеспечить полную ясность у учащихся в том, что в этой формуле произведение, а • b не есть «настоящее» произ­ведение величины а на величину b, Дело в том, что однородные величины можно складывать между собой, умножать на положи­тельное число, т. е. в результате этих операций опять получается величина того же рода. Операция умножения величин вообще не определена. Однако, рассматривая прямоугольник, длины сторон которого есть соответственно а = те и b = пе, где е — линейная единица измерения, получаем, что его площадь равна квад­ратов, длины сторон которых равны е. Так как все эти квадраты конгруэнтны и, следовательно, имеют одну и ту же площадь e² то площадь прямоугольника S = тпе² (*). С другой стороны, вычис­ляя по обычным правилам алгебры произведение а и b, получим: а • b = = (тп) е^г (**). Сравнивая формулы (*) и (**), приходим к выводу: целесообразно условиться, что длины а и b можно «умножать» друг на друга, получая при этом площадь прямоугольника, длины сторон которого равны величинам а и b.
Из формулы (*) следует, что если задан прямоугольник, длины сторон которого измерены одной и той же единицей измерения е, то его площадь есть величина, числовое значение которой при еди­нице измерения е² (т. е. квадрат, длина стороны которого равна е) равно произведению числовых значений длин его сторон. Следо­вательно, при косвенном способе измерения площади прямоуголь­ника (а именно так делается на практике) достаточно измерить длины его сторон одной и той же единицей измерения е, т. е. найти величины me и пе, а затем за площадь такого прямоугольника при­нять величину тпе², где число тп есть произведение числовых значений длин его сторон и е² — квадратная единица измерения (т. е. квадрат, длина стороны которого равна е).
Например, рассматривается прямоугольник, длина одной сто­роны которого равна 2 см, а длина другой — 5 см. В этом случае при выбранной линейной единице измерения (один сантиметр) число­вые, значения, длин сторон соответственно равны 2 и 5. Площадь такого прямоугольника равна 10 см², а числовое значение площади равно 10 при выбранной квадратной единице измерения в один квадратный сантиметр.
Учащиеся не должны допускать следующей ошибки: площадь
прямоугольника, длины сторон которого 2см и 3дм, равна 2 • 3 =6 (неизвестно каких единиц). Они должны правильно пользоваться указанной формулой для нахождения площади. А именно,
выразив длины сторон в одинаковых линейных единицах измерения,
т. е. 2см и 30см, затем найти площадь прямоугольника по формуле
S = 2 * 30 = 60 (кв. см).
После того как вопрос о площади прямоугольника решен, рас­смотрение вопроса о площади треугольника, параллелограмма и многоугольника не вызывает у учащихся затруднений. Так как во­прос о площадях некоторых видов многоугольников, рассматривае­мых в школьном курсе математики, решается традиционно, он хорошо изложен в школьных учебниках и освещен в методичес­кой литературе, то мы не ставили своей целью рассматривать этот вопрос в данном пособии. Укажем лишь на то, что при рассмотре­нии этого вопроса у учащихся должна быть достигнута полная ясность в трактовке понятий «конгруэнтность», «равновеликость» и «равносоставленность» фигур и их взаимосвязи друг с другом.
Аксиоматическое введение понятия площади в учебном посо­бии по курсу «Алгебра и начала анализа» сейчас не рассматривается, хотя ранее рассматривалось в этом курсе, некоторые же свой­ства площади рассматриваются и используются в курсе «Геометрия» (VII класс). Так же как это имело место при косвенном изме­рении площади прямоугольника для общего случая произвольной плоской фигуры, косвенное измерение ее площади можно произво­дить следующим образом: выбрав линейную единицу измерения (например, сантиметр), выражают площадь плоской фигуры а чис­лом К ( ) соответствующих квадратных единиц измерения е² (на­пример, при выбранной линейной единице измерения — сантиметр единицей измерения площади будет квадратный сантиметр). Та­ким образом, задача о введении понятия площади плоской фигуры будет решена, если мы при выбранной линейной единице измерения е сможем каждой плоской фигуре а (из рассматриваемого допусти­мого множества фигур) поставить в соответствие величину S ( ) = К ( ) е², которую будем называть площадью фигуры а, так что выполняются следующие свойства:
Числовое значение площади каждой фигуры — неотрица­тельное число, т. е. К ( ) 0 (условие неотрицательности).
Конгруэнтные фигуры имеют равные площади (свойство инва­риантности).
Если фигура является объединением двух фигур и не имеющих общих внутренних точек, площадь которых соответ­ственно S ( ) и S ( ), то S ( ) = S ( ) + S ( ) (свойство аддитив­ности).
Существует фигура , числовое значение площади которой равно единице (т. е. К ( ) = 1), называемая квадратной единицей измерения (условие нормированности).
Если фигура содержится в фигуре , то S ( ) S ( ) (свойство монотонности).
Плоская фигура, имеющая площадь, носит название квадрируемой. Желательно, чтобы учащиеся понимали, какие фигуры надо относить к классам квадрируемых фигур, и имели представле­ние о том, что не все фигуры квадрируемы. Так, например, наи­более простым классом квадрируемых фигур являются многоугольники, а также фигуры, составленные из многоугольников.