Учебное пособие "Методика преподавания математики"

Мера обладает следующими свойствами:
а) m  функция в области определения В и области значения R⁺, т. е. m отображает В на R⁺;
б) a< bm(a)< m(b) (монотонность меры);
в) m(a+b)=m(a)+m(b) (аддитивность меры);
г) m(е)=1 (мера единицы измерения равна 1).
Перечисленные свойства полностью характеризуют меру m. Существует единственная функция BR⁺, обладающая этими свойствами, а именно мера m(a) величины а при единице измерения е. Если заменить е на е', то получится новая мера m'(a)=' , причем, т. к. m(a)=, связь между двумя мерами выразится так: m'(a)=^1m(a).
Перечисленные свойства общего понятия величины и меры величины находят применение (в явном или неявном виде) при изучении конкретных геометрических величин (длины, площади и объема) в школе.
3. Методические особенности изучения геометрических величин
Измерение геометрических величин изучается в школьном курсе дважды, на двух различных уровнях.
На первом, чисто экспериментальном, уровне в начальных классах учатся измерять длины отрезков, площади простейших плоских фигур и объемы простейших пространственных тел. На этом уровне не дается определений длины, площади и объема.
Цель состоит в том, чтобы создать у учащихся ясные интуитивные понятия.
Рассмотрим некоторые вопросы методики изучения геометрических величин на втором уровне.
Можно ли строго эту теорию построить в школьном курсе? Разные точки зрения, много трудностей, много логических пробелов.
Вопрос об измерении геометрических величин является одним из наиболее трудных как в теоретическом, так и в методическом отношениях. Трудность эта связана с тем, что в учебной литературе и в процессе изложения темы на уроках очень четко определяются основные объекты измерений  длина, площадь, объем, и вместе с тем совсем не дается определение общего понятия величины.
Например, в учебнике А.П. Киселева площадью называется "величина части плоскости, заключенной внутри многоугольника или какой-нибудь другой плоской замкнутой фигуры". А далее мы читаем: "Площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту". Далее, правда, есть разъяснение, что это краткая формулировка и надо понимать "число, выражающее площадь прямоугольника в квадратных единицах и т. д.". В сознании учащихся остается только первая формулировка.
Аналогично у А.П. Киселева обстоит дело и с определением понятия объема. Объем определяется как величина части пространства, занимаемой геометрическим телом, а дальше - теорема V=abc (V  объем прямоугольного параллелепипеда).
Наряду с этим обращает на себя внимание тот разнобой, который имеет место при отыскании числа, выражающего объемы различных тел.
Именно поэтому "школьная теория" измерения геометрических величин должна строиться таким образом, чтобы четко вырисовывалась общая схема. Это относится к определениям понятий "длина", "площадь", "объем". Раскрытие связей по общей схеме способствует более глубокому пониманию и прочности знаний.
Каждое из трех понятий определяется как вещественное число, удовлетворяющее условиям (а - г), которые характеризуют общее понятие меры множества.
Можно наметить следующую схему теории измерения длин отрезков:
1) определение длины отрезка как вещественного числа, удовлетворяющего условиям (свойствам меры а - г);
2) описание процедуры измерения отрезков;
3) установление существования и единственности длины отрезка при данном выборе единицы измерения с использованием аксиомы Архимеда;
4) установление существования отрезка, длина которого при данном выборе единицы измерения равна любому, наперед заданному положительному числу с использованием аксиомы Кантора, геометрического эквивалента аксиомы непрерывности.
Разъяснение учащимся старших классов сущности аксиомы Кантора (обычно не рассматривается в школьном курсе) не представляет особых трудностей. Это можно сделать именно в связи с установлением свойства 4.
Случай, когда наперед заданное число - рациональное, не требует применения аксиомы Кантора и выполняется с помощью элементарного построения.
Но вот когда число иррациональное (например, х=2,31311311131111:), то при разъяснении приходим к аксиоме Кантора:
Если на прямой дана бесконечная последовательность отрезков А₁В₁, А₂В₂, :, А_nВ_n, : такая, что, во-первых, каждый отрезок лежит внутри предыдущего; во-вторых, нет отрезка, лежащего внутри всех отрезков этой последовательности, то существует точка, лежащая внутри всех отрезков этой последовательности. Единственность этой точки непосредственно следует из аксиомы. И таким образом, строим отрезок х.
Теория измерения площадей и объемов в некоторой части аналогичны. Подчеркивание этой аналогии в процессе обучения - эффективное средство формирования понятия о методике построения этих теорий.
Аналогия заключается в выборе единицы измерения (квадрат со стороной 1 - куб с ребром 1), а также в последовательности и способе доказательств предложений.
Однако это не распространяется на всю теорию. Например, нельзя проводить аналогию в вопросах о равновеликости и равносоставленности площадей и объемов , хотя определения этих понятий вводятся аналогично. Но, если всякие равновеликие многоугольники равносоставлены, то этого нельзя сказать о равновеликих многоугольниках (подробно можно рассмотреть на факультативе).
"Два многоугольника (многогранника), которые можно разложить на одинаковое число попарно конгруэнтных многоугольников (многогранников), называются равносоставленными".