Учебное пособие "Методика преподавания математики"

2. Использование интеграла при нахождении площадей фигур.
Перед ознакомлением учащихся с идеей применения мето­дов интегрального исчисления для вычисления площадей целесо­образно провести беседу примерно следующего содержания.
Пока мы изучали площади таких фигур, которые могут быть представлены в виде объединения конечного числа непересекаю­щихся, треугольников, получение новых формул для вычисления площадей не вызывало каких-либо принципиальных затруднений — формуле оказывались лишь более или менее громоздкими. Одна­ко, как только мы захотим вычислить площади фигур, ограничен­ных криволинейными контурами, или тем более фигур, расположен­ных на неплоских поверхностях, возникают трудности особого рода.
Прежде всего, оказывается, что известное нам представление о площади, а также определение понятия площади (учитель, конечно, повторит его)

в новой ситуации ока­зываются неприменимыми. Действительно, мы не можем покрыть поверхность сферы конечным множеством квадратов, мы не можем заполнить конечным числом квад­ратов круг и т. д. Более того, не умея оп­ределить понятие площади, мы не можем и поставить задачу ее измерения — теряет смысл сама идея сравнения, так как, гру­бо говоря, нельзя сравнивать прямое с кривым. Значит, придется как-то по-ново­му ввести понятие площади, причем опре­делить так, чтобы новое определение не противоречило ни старому, ни нашим жи­тейским представлениям о площадях. Путь к этому определению лежит через понятие предела.
Уже само по себе понятие предела не так уж просто и надо полагать, что применение этого понятия к задаче о площадях тоже будет не слишком простым, но мы вправе ожидать, что после преодоления этих труд­ностей мы получим общий метод и единый метод вычис­ления площадей.
С чего же начать? Естественнее всего рассмотреть сначала та­кую плоскую фигуру, лишь часть границ которой будет иметь кри­волинейный контур, а остальные окажутся отрезками. Особую роль при этом будет играть фигура, которую принято называть криволинейной трапецией.
Дальнейшее изложение вопроса уже не представляет серьезных трудностей. После изучения площади криволинейной трапеции пере­ходят к рассмотрению общего случая вычисления площадей плоских фигур, площадь которых есть алгебраическая сумма пло­щадей нескольких криволинейных трапеций.
Последнее закрепляется при рассмотрении с учащимися соответ­ствующих примеров.
Пример1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = х,
у = x³, х= 2 (рис. 1).
Решение. Площадь данной фигуры можно найти как раз­ность площадей криволинейных трапеций ABDE и АВСЕ. Следо­вательно,

П р и м ер 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью Ох и линиями у = cos х, х = - π , х = π (рис. 2).


Решение. Найдем нули функции у= cos х на отрезке [-π, π] : расположим их в порядке возрастания: -
Площадь данной фигуры вычисляется следующим образом:

На изучение темы «Площади» в учебнике геометрии А.А.Рахимкариева «Геометрия. 8 класс» отводится десять часов.
По завершению изучения темы представлены тесты, соответствующие требования государственных стандартов.
В данном учебнике понятие площади вводится посредством следующих свойств:

1. 
   Равные треугольники имеют равные площади.
   
2. 
   Если многоугольник состоит из многоугольников не имеющих общих внутренних точек, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.
   
3. 
   Площадь квадрата, имеющего сторону длиной 1, равна 1.
   

В начале дается определение и формула вычисления квадрата, затем доказывается, что площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину и т.д.
Далее рассматривается задача практического характера, что несомненно вызывает интерес у учащихся.