Учебное пособие "Методика преподавания математики"

Методика изучения преобразований фигур на плоскости.

Тема "Преобразования фигур" является второй в курсе геометрии VIII класса («Геометрия.8 класс. А.А.Рахимкариев) и содержит следующие вопросы: примеры преобразования фигур, движение, равенство фигур, преобразование подобия, подобие фигур. В курсе стереометрии (в "эскизном" порядке) в теме "Декартовы координаты и векторы в пространстве" изучаются аналогичные преобразования для случая пространства. Уровень доказательности и полноты изложения в курсе планиметрии достаточно высок.
Каковы особенности изложения данной темы в учебниках? Рассмотрение их начнем с введения понятий.
Рассмотрим теперь, как определяются отдельные геометрические преобразования. Определения их, как правило, являются генетическими.
Понятие преобразования симметрии относительно точки определяется через понятие точек, симметричных относительно центра. Определение последнего таково: "Пусть О - фиксированная точка и Х - произвольная точка плоскости. Отложим на продолжении отрезка ОХ за точку О отрезок ОХ', равный ОХ. Точка X' называется симметричной точке Х относительно точки О. Точка, симметричная точке О, есть сама эта точка".
Заучивать это определение не нужно. Полезно подчеркнуть учащимся особенность этого определения: в нем указывается способ построения симметричных точек. В этих целях полезно поставить вопрос: "Как построить точку X', симметричную точке Х относительно точки О?" Отвечая на поставленный вопрос, учащиеся укажут, что для построения точки X' необходимо выполнить следующее: 1) построить отрезок ХО; 2) продолжить отрезок ХО за точку О; 3) на продолжении отрезка ХО отложить отрезок ОХ' = ОХ. Полученная точка X' - искомая.
В соответствии с изложенными особенностями текста учебного пособия предложим следующую методическую схему введения определения точек, симметричных относительно центра:
1) одновременно выполнить построения и проговорить определение (задание для учителя);
2) поставить вопрос: "Как построить точку X', симметричную точке Х относительно центра О?";
3) одновременно выполнить построения и проговорить определение (задание для ученика).
Остановимся на некоторых методических особенностях доказательств, изучаемых в теме "Преобразования фигур". Эта тема характеризуется выборочным применением традиционно-синтетического и координатного методов. Обратимся, например, к следующим теоремам:
"Преобразование симметрии относительно точки является движением", "Преобразование симметрии относительно прямой является движением". Первая из них доказывается с помощью признака равенства треугольников, вторая - с помощью системы координат. "Выборочное" применение математических методов существенно рационализирует изложение данной темы. Отметим, что эта плодотворная идея не нашла еще систематического воплощения при изложении всех тем школьного курса геометрии.
Приведем методическую схему доказательств с применением системы координат:
1) построить рисунок;
2) расположить систему координат удобным образом;
3) указать координаты точек;
4) записать условие и заключение задачи на координатном языке;
5) перейти от условия задачи к ее заключению.
Отдельно следует остановиться на доказательствах свойств движений и преобразования подобия. Необходимо учесть, что рассуждения, проводимые в этих доказательствах, являются для учащихся новыми, непривычными. Уже первым доказательствам в данной теме присущи черты метода геометрических преобразований. Новизна материала накладывает определенный отпечаток на выбор методов обучения. Изучение центральной в этой теме теоремы: "При движении точки, лежащие на прямой, переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения" - целесообразно провести репродуктивным методом.
В заключение данной темы рассматриваются признаки подобия треугольников, которые имеют достаточно широкие приложения к решению задач. Отметим, что наибольшее количество задач приходится именно на параграф "Подобие фигур".
В учебном пособии Погорелова А.В.»Геометрия 7-11» применен интересный прием: приводится единое доказательство для всех трех признаков подобия треугольников. Это не только экономит изложение, но и более четко выявляет общий замысел доказательства, его идею. Важно, что доказательства всех трех признаков проводятся на одном чертеже. Методическая схема изучения доказательств трех признаков подобия треугольников такова:
1) выполнить чертеж, краткую запись теоремы (сразу для трех признаков);
2) изложить доказательство первого признака;
3) изложить доказательство второго признака;
4) изложить доказательство третьего признака;
5) закрепить доказательство путем изучения текста учебника.
В основе этой схемы лежит различное использование параллельного и последовательного изложений учебного материала: в пп. 1, 5 применяется параллельное, в пп. 2-4 - последовательное изложение. Обратимся к задаче на построение, решаемой методом геометрических преобразований: "Постройте равносторонний треугольник, у которого одна вершина задана, а две другие лежат на данных прямых". Эта задача решена в параграфе "Движение". Ее решение основано на применении поворота прямой вокруг точки. Для этого необходимо знать, что при повороте прямая переходит в прямую, но это свойство устанавливается только в следующем параграфе "Свойства движений". Возникает определенная методическая проблема: "Как быть?" Конечно, проще данную задачу перенести в следующий параграф и решить ее после того, как будет доказано указанное свойство. Можно предложить другое, более интересное и поучительное решение этой проблемы:
1) рассмотреть решение данной задачи в параграфе "Движение", где она приводится в пособии [31];
2) обратить внимание учащихся на то, что при решении данной задачи использовалось свойство поворота (при повороте прямая переходит в прямую), которое еще не доказывалось; осуществить тем самым мотивацию изучения этого свойства (что является немаловажным психологическим аспектом);
3) сообщить, что данное свойство будет доказано не для отдельного вида движений (поворота), а сразу для всех видов движений;
4) перейти к изучению параграфа "Свойства движений".