|
Параллельность прямой и плоскости
Важным обобщением (расширением) понятия параллельности является параллельность прямой и плоскости. Данный раздел следует начать с беседы о возможном числе общих точек у прямой и плоскости. Для беседы можно предложить ряд вопросов:
- могут ли прямая и плоскость иметь 2,3,4 и т.д. общих точек? (могут);
- что можно сказать о таких прямой и плоскости? (прямая лежит в плоскости);
- в каком случае прямая и плоскость будут иметь только одну общую точку? (только когда эта прямая пересекает данную плоскость);
-прямая и плоскость называются _______________, если они не имеют общих точек? (параллельные).
По результатам беседы можно составить таблицу взаимного расположения прямой и плоскости (уже составляли в предыдущей теме).
Если прямую, лежащую в плоскости, считать параллельной плоскости, то в схеме о взаимном расположении прямой и плоскости в пространстве будут два случая: прямая и плоскость параллельны; прямая и плоскость пересекаются.
Пользуясь таблицей, учащиеся самостоятельно могут сделать вывод, что по определению не всегда можно судить о том, что данная прямая и данная плоскость параллельны, поскольку прямая и плоскость безграничны.
Встаёт вопрос: нельзя ли о параллельности прямой и плоскости судить по параллельности двух прямых? Естественно, одна из таких прямых есть данная прямая, а другая должна принадлежать данной плоскости.
Так появляется теорема, носящая имя признака параллельности прямой и плоскости, доказательство которой ведётся методом от противного.
Параллельность плоскостей
Дальнейшим шагом является изучение параллельности плоскостей. Эта проблема имеет огромное практическое значение. Укажем хотя бы на необходимость обеспечения горизонтальности пола в помещении, на целесообразность параллельности стенок кузова автомашины, стенок вагона, граней ящика и т. п.
Есть два варианта, как начать изучение этого раздела. Первый состоит в том, что аналогично параллельности прямой и плоскости рассматриваем возможное число общих точек у двух плоскостей (опираясь на соответствующую аксиому).
Две различные плоскости не могут иметь только одну общую точку, ибо на основании известной аксиомы они будут иметь общую прямую, проходящую через эту точку. В этом случае говорят, что две плоскости пересекаются по прямой. По той же причине две плоскости не могут иметь две общие точки.
Если три точки не лежат на одной прямой и являются общими для двух плоскостей, то на основании соответствующей теоремы (или следствия из нее) плоскости совпадают. Совпадение двух плоскостей не рассматривается в дальнейшем как не представляющее интереса и в таблице отражено не будет; если точки принадлежат одной прямой, то плоскости пересекаются по прямой.
Аналогично выясняется, что две различные плоскости не могут иметь конечного числа общих точек: они или пересекаются, или совпадают. В том и в другом случае число общих точек бесконечно. Опять можно построить таблицу.
Второй вариант состоит в использовании модели каркасного куба или любого прямоугольного параллелепипеда. Напомнив ученикам, что грань многогранника - многоугольник, т.е. часть плоскости, прикладываем пластинку значительно больших размеров и таким образом создаем модель той плоскости, частью которой является данная грань. Рассматриваем эту модель отдельно. Напоминаем ученикам, что всякую плоскость, как и прямую, мы воображаем бесконечной.
Прикладываем пластинки к двум параллельным граням многогранника и предлагаем мысленно продолжить их. Делаем вывод, что плоскости, в которых лежат эти грани, не имеют общих точек. Показываем с помощью двух параллельных пластинок две параллельные плоскости отдельно от модели многогранника. Даем определение параллельных плоскостей. Приводим примеры параллельных плоскостей.
Аналогично вводится определение пересекающихся плоскостей.
Далее рассматриваются грани многогранника, не имеющие общих точек. Прикладывая пластинки к различным парам таких граней, устанавливаем, что их плоскости параллельны или пересекаются по прямой.
Иллюстрацией последнего случая могут служить две боковые грани призмы с трапецией в основании, проходящие через боковые стороны трапеции.
В заключение можно сделать общий вывод о возможных положениях двух плоскостей в пространстве.
Судить о параллельности двух плоскостей, пользуясь определением, не всегда возможно, так как плоскость - фигура безграничная. О параллельности двух плоскостей судят по параллельности прямых, связанных с этими плоскостями. Признак параллельности можно сформулировать, опираясь на параллельность прямой и плоскости: две плоскости параллельны, если одна из них параллельна двум пересекающимся прямым, лежащим в другой плоскости. (Знать доказательство).
В порядке закрепления признака параллельности плоскостей следует решить ряд задач на построение.
Задача 1. Через точку вне данной плоскости провести плоскость, параллельную данной плоскости.
Задача 2. Через данную прямую провести плоскость, параллельную данной плоскости.
Задача 3. Через каждую из двух скрещивающихся прямых провести плоскость так, чтобы эти плоскости были параллельны.
Do'stlaringiz bilan baham: |
