|
Перпендикулярность прямых в пространстве
Этот раздел, по сути дела, рассматривается как повторение пройденного ранее. Повторение нужно вести по следующему плану:
- определение взаимно перпендикулярных прямых;
- пересекающиеся и скрещивающиеся взаимно перпендикулярные прямые;
- иллюстрация их на моделях многогранников и в окружающей действительности.
При повторении важно подчеркнуть, что в пространстве взаимно перпендикулярные прямые могут не иметь общих точек.
Эту работу на повторение можно провести, используя модель куба: предложить учащимся указать взаимные положения ребер АА1 и СС1; АВ и ВС; АВ и ДД1. Через каждую пару ребер можно провести плоскость (приложить листок бумаги, например). Далее предлагается выяснить взаимные расположения ребер АВ и ДД1. Прикладывая листочек или пластинку к этим ребрам, устанавливаем, что через них нельзя провести плоскость (если плоскость проходит через АВ, то пересекает ли она ребро ДД1 или его продолжение), значит, эти ребра не параллельны и не пересекаются. Два ребра, через которые нельзя провести плоскость, называем скрещивающимися.
Определение двух скрещивающихся прямых как таких прямых, через которые нельзя провести плоскость, следует предпочесть определению их как прямых, которые не параллельны и не пересекаются. Как мы видели, этим определением удобно пользоваться на практике: когда нужно узнать, являются ли два ребра скрещивающимися, прикладываем к ним пластинку и выясняем, можно ли через них провести плоскость.
После упражнений в нахождении скрещивающихся ребер различных многогранников создаем модель двух скрещивающихся прямых и вводим определение.
Перпендикулярность прямой и плоскости
Изучение целесообразно начать с повторения о взаимном расположении прямой и плоскости в пространстве, используя таблицу.
Вопрос: в каком случае прямая и плоскость могут быть перпендикулярны? (Только когда пересекаются).
При введении определения перпендикулярных прямой и плоскости важную роль играет применение моделей. Особенно важна демонстрация контрпримеров: если рассмотреть модель прямой а, которая не перпендикулярна хотя бы одной прямой в, то такая модель не вызывает у учащихся наглядных представлений о перпендикулярности прямой а и плоскости, что существенно для верного понимания определения.
В учебной литературе по стереометрии приняты различные определения перпендикулярности прямой и плоскости: "Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости" (Л.С. Атанасян).
"Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной к этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку пересечения данной прямой и плоскости" (А.Д. Александров, А.В. Погорелов).
Для школьного курса геометрии весьма целесообразно в определении перпендикулярности прямой и плоскости включить требование их пересечения. Поэтому "второе" определение доступнее для учащихся, соответствует уровню развития их пространственного представления. Второе определение дает полный объем изучаемого материала.
Если учащиеся достаточно подготовлены всей предыдущей работой, имеют хорошо развитое пространственное представление, то вполне можно вводить "первое" определение, дополнив его требованием, что рассматриваемые прямая и плоскость пересекаются: "Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости".
Такое определение, безусловно, облегчит доказательство некоторых теорем.
Далее с использованием проблемного метода показываем, что определение недостаточно, чтобы судить о перпендикулярности прямой и плоскости, поскольку прямых, принадлежащих плоскости, бесчисленное множество. В итоге этой работы формулируется теорема, которая получила название признака перпендикулярности прямой и плоскости, ее доказательство проводится в классе учителем и сопровождается продуманными решениями.
Доказательство этой теоремы в различных учебных пособиях различное: в большинстве пособий, в том числе и в учебнике А.В. Погорелова, доказательство проводится с помощи рассмотрения цепочки равных треугольников (формулировки и доказательства теоремы знать).
Здесь же вводится понятие перпендикуляра одновременно с понятием наклонной к плоскости.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости лежит в основе построения прямой, перпендикулярной данной плоскости, и плоскости, перпендикулярной данной прямой.
При изучении данной темы нельзя забывать, что она является основой для решения задач на доказательство и на вычисление в теме "Многогранники".
Изучение перпендикулярности прямой и плоскости следует связать с повторением темы "Параллельность в пространстве", чтобы показать взаимосвязь двух тем.
В условии теорем, характеризующих эту взаимосвязь, фигурируют тройки объектов: две прямые и плоскость, две плоскости и прямая. Теоремы рассматриваются попарно.
Эти две теоремы можно получить из двух предыдущих, заменяя в их формулировке двух прямых двумя плоскостями, а плоскости - прямой.
После доказательства теорем вводится понятие прямоугольной (ортогональной) проекции прямой на плоскости.
На основе перпендикулярности прямой и плоскости вводятся такие понятия, как "расстояния от точки до плоскости", "общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых", "угол между наклонной и плоскостью", а также доказывается теорема о трех перпендикулярах, имеющая общее значение для дальнейшего изучения курса стереометрии, в частности для изучения многогранников. При доказательстве этой теоремы учащиеся должны понимать, о каких трех перпендикулярах идет речь, а поэтому их следует выделить на рисунке разными цветами. (Знать доказательство).
Расстояние от точки до плоскости можно вводить, исходя из понятия расстояния между двумя фигурами, а можно его определить как расстояние от точки до основания перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
Задачи на отыскание расстояния от точки до плоскости необходимо связать с многогранниками.
Do'stlaringiz bilan baham: |
