Учебное пособие "Методика преподавания математики"

Различные подходы. Первый этап в изучении элементов тригонометрии.

В математике тригонометрические функции часто определяются аналитическим путем: с помощью степенных рядов, как решения дифференциального уравнения, как интегральные представления. Тригонометрические функции могут быть определены геометрическими средствами. Такие определения ввиду их большей доступности и наглядности используются в школьном курсе математики. Существуют различные варианты изложения элементов тригонометрии в школьном курсе математики. Они основаны на применении системы координат, векторов, геометрических преобразований.
Традиционная методическая схема изучения тригонометрических функций такова: 1) вначале определяются тригонометрические функции для острого угла прямоугольного треугольника; 2) затем введенные понятия обобщаются для углов от 0° до 180°; 3) тригонометрические функции определяются для произвольных угловых величин и действительных чисел. В методической литературе используется и более краткая методическая схема, которая начинается сразу с п. 2.
В пособии Погорелова А.В. «Геометрия. 7-11» используется приведенная выше схема. Ее первые два этапа реализуются в курсе планиметрии, третий - в курсе алгебры и начал математического анализа. Геометрический характер определений тригонометрических функций объясняет тот факт, что они составляют единственный вид функций, который начинают изучать не в курсе алгебры, а в курсе геометрии.
Для геометрии же важен не "общефункциональный взгляд" на тригонометрические функции (область определения, область значений, периодичность, четность и т. д.), а их прикладная сторона (решение прямоугольных треугольников, применение некоторых тригонометрических тождеств, теорем косинусов и синусов, решение произвольных треугольников и т. д.). По этой причине в пособии Погорелова А.В. «Геометрия. 7-11» нет даже термина "тригонометрические функции"; вместо него употребляются слова: "косинус угла", "синус угла", "тангенс угла".
Определенные трудности в изучении элементов тригонометрии порождает следующая теорема:
"Косинус угла зависит только от градусной меры угла". В чем заключается смысл данной теоремы? Зачем она нужна? Необходимость изучения данной теоремы можно разъяснить учащимся следующим образом. Пусть требуется на основании определения найти cos 37°. Предположим, что это задание выполняют отдельно друг от друга несколько человек. Чтобы найти cos 37°, они построят прямоугольный треугольник (каждый свой) с углом в 37°, измерят прилежащий катет и гипотенузу, найдут отношение прилежащего катета к гипотенузе. Полученное число и будет являться cos 37°. Есть ли гарантия, что каждый ученик получит один и тот же ответ? Этот вопрос возникает по той причине, что каждый ученик строит свой прямоугольный треугольник, получает свои значения длин прилежащего катета и гипотенузы. Так, может быть, и искомое отношение у каждого ученика будет какое-то свое? Понятно, что если бы значение cos 37° при переходе от одного прямоугольного треугольника к другому изменялось, то ценность такого понятия в математике была бы невелика. Изучаемая теорема является ответом на поставленные вопросы. Она утверждает, что косинус острого угла зависит не от выбора прямоугольного треугольника, а только от меры угла.

2.