1. Множества. Операции над множествами. Свойства операций. Множеством

1 . Множества. Операции над множествами. Свойства
операций.
Множеством называется совокупность объектов любой природы. Объекты, составляющие множество, называются элементами этого множества. Множества состоят из элементов Х {x, x…}. Принадлежность элемента множеству обозначается xX.
Множества Х и У называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Обозначается Х=У.
Множество Х называется подмножеством У, если хУ. Обозначается хУ.
Объединением множеств Х и У называется множество из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств. Обозначается ХУ.
Пересечением множеств Х и У называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат одновременно множествам Х и У. Обозначается ХУ.
Разностью множеств Х и У называется множество, состоящее из элементов множества Х, не принадлежащих множеству У. Обозначается Х\У.
Дополнение: Пусть Х подмножество М, тогда М/Х называется дополнением множества Х до М. Обозначается С_МХ.
Симметрической разностью множеств Х и У называется множество (ХУ) = (ХУ)\(ХУ).
Свойства операций:

1. 
   X X
   
2. 
   (X  Y)  (Y  X)  (X=Y)
   
3. 
   (X  Y)  (Y  Z)  (X  Z)
   
4. 
   x, x
   
5. 
   XY = YX; XY = YX
   
6. 
   X (YZ) = (XY) Z
   
7. 
   X (YZ) = (XY) Z
   
8. 
   (XY) Z = (XZ)  (YZ)
   
9. 
   (XY) Z = (XZ)  (YZ)
   
10. 
    XC_MX = ; XC_MX = ;
    
11. 
    C _MX (X  Y) = C_MX  C_MY
    
12. 
    C_MX (X  Y) = C_MX  C_MY
    
13. 
    XY = (X \ Y)  (Y \ X)
    

Отображения множеств.ПодмножествоF декартового произведения Х и У называется отображением множества Х на множество У. хХ!(х,у)F. Обозначается F: X->Y
F: X->Y; Y=f(x); X – область определения, У – множество значений, хХ – аргумент функции
Инъективно: F(x) = y; Сюрьективно: уУ!хХ; Следовательно, и биективно.
Билет 2. Аксиомы действительных чисел и их свойства.
Сложение.IRxIR ->IR; (x,y)IR; x+y=IR
А ксиомы сложения.
А1. Операция сложения коммутативна:
x,yR:x+y=y+x
А2. Ассоциативна:
x,y,zR: (x+y)+z = x+(y+z)
А3. Существует единственный нейтральный элемент
О Rназывается нуль, хR: x+O=x
А4. Существует противоположный элемент
xR(-x)R: x+(-x)=0
Четыре аксиомы – абелева группа.


Умножение. X*y=R
А5. Коммутативность.
x,yR:x*y=y*x
А6. Ассоциативность
x,y,zx*(y*z)=(x*y)*z
А7. Существует нейтральный элемент
1Rназывается единицей хR: x*1=x
А8. Существует обратный элемент
хR(x-1)R: x*(x-1)=1
А9. Умножение дистрибутивно относительно сложения.
x,y,zR (x+y)z = xz+yz
Алгебраическое поле – множество элементов, связанных операциями, удовлетворяющими А1-А9.
Между элементами RxRи yRопред. отношение порядка ≤ x,y: x≤yилиy≤x


Аксиомы порядка
A10 xRx≤x
A11 x,yR (x≤y)(y≤x) => (x=y) – Антисимметричность
А12 x,y,zR (x≤y)(y≤z) => (x≤z) – Транзитивность
А13 x,y,zR (x≤y) =>x+z ≤ y+z – Связь умножения и порядка
А14 x,yR(о≤x)(o≤y) => (o≤x*y) –Связь умножения и порядка

В пространстве вещественных чисел также справедлива аксиома полноты.

А15. Х и У пустые множества RxX; yYx≤y тогда сR (x ≤ c ≤ y)