1. Множества. Операции над множествами. Свойства операций. Множеством

6. Последовательность. ББП и БМП, теорема об их связи.
Ф. 𝑓: 𝑁 → 𝑅, областью определения которой является мн-во 𝑁,
наз. Числовой последовательностью (пос-тью).
Значения 𝑥𝑛 = 𝑓(𝑛) наз. членами пос-ти.
𝑥𝑛 – n-ый член пос-ти. Об. {𝑥𝑛}𝑛 ∞ =1 / {𝑥𝑛}
{𝑥𝑛} наз. ограниченной сверху, если ∃𝑀∈𝑅: ∀𝑛∈𝑁𝑥𝑛 ≤ 𝑀.
{𝑥𝑛} наз. ограниченной снизу, если ∃𝑚∈𝑅: ∀𝑛∈𝑁𝑥𝑛 ≥ 𝑚.
{𝑥𝑛} наз. ограниченной, если ∃𝐴> 0: ∀𝑛∈𝑁 |𝑥𝑛| ≤ 𝐴.
{𝑥𝑛} наз. неограниченной, если ∀𝐴> 0: ∃𝑛∈𝑁 |𝑥𝑛| >𝐴.
{𝑥𝑛} наз. ББП, если ∀𝐸> 0: ∃𝑛0 ∈𝑁, ∀𝑛>𝑛0 |𝑥𝑛| >𝐸.
{𝑥𝑛} наз. БМП, если ∀𝜀> 0: ∃𝑛0 = 𝑛0(𝜀) ∈𝑁, ∀𝑛>𝑛0 |𝑥𝑛| <𝜀.
Т2.1 («О связи ББП и БМП»)
1)Если {𝑦𝑛} – ББП, то ∃𝑛0 ∈𝑁, ∀𝑛>𝑛0 {𝑦 1 𝑛} определена и
является БМП.
2)Если {𝑥𝑛} – БМП и 𝑥𝑛 ≠ 0 то {𝑥 1 𝑛} является ББП.
► 1) Пусть {𝑦𝑛} – ББП ⇔∀𝐸> 0 ∃𝑛0 ∀𝑛>𝑛0 |𝑦𝑛| >𝐸
⇒∀𝑛>𝑛0 {1/у𝑛} определена. Пусть ∀𝐸 = 1/𝜀, тогда
|𝑦𝑛| > 1/𝜀⇔ |1/у𝑛| <𝜀⇒ {1/у𝑛} – БМП.
2) Пусть {𝑥𝑛} – БМП, 𝑥𝑛 ≠ 0 ⇔∀𝜀> 0 ∃𝑛0 ∀𝑛>𝑛0 |𝑥𝑛| <𝜀.
Пусть 𝜀 = 1/𝐸, тогда |𝑥𝑛| < 1/𝐸⇔ |1/xn| >𝐸⇒ {1/xn}ббп.
7. Свойства БМП.
Т2.2 БМП – ограничена.
► Пусть {𝑥𝑛} – БМП ⇔∀𝜀> 0 ∃𝑛0 ∀𝑛>𝑛0 |𝑥𝑛| <𝜀.
Пусть 𝑀 = max{𝜀, |𝑥1|, |𝑥2|, … |𝑥𝑛0|}. Тогда |𝑥𝑛| ≤ 𝑀∀𝑛>𝑛0 .◄
Т2.3 Сумма (разность) БМП есть БМП.
► Пусть {𝑥𝑛} и {𝑦𝑛} – БМП. Тогда ∀𝜀> 0
∃𝑛1: ∀𝑛>𝑛1 |𝑥𝑛| <𝜀/2 ∃𝑛2: ∀𝑛>𝑛2 |𝑦𝑛| <𝜀/2
Пусть 𝑛0 = max{𝑛1, 𝑛2 }.
Тогда ∀𝑛>𝑛0 |𝑥𝑛 ± 𝑦𝑛|≤ |𝑥𝑛| + |𝑦𝑛| <𝜀/2+ 𝜀/2= 𝜀⇒
{𝑥𝑛 ± 𝑦𝑛} – БМП. ◄
Т2.4 Произведение БМП и ограниченной пос-ти есть БМП.
► Пусть {𝑦𝑛} – ограниченная ⇔∃𝐴> 0 ∀𝑛∈𝑁 |𝑦𝑛| ≤ 𝐴
{𝑥𝑛} – БМП, ∀𝜀> 0 ∃𝑛0 ∀𝑛>𝑛0 |𝑥𝑛| <𝜀/𝐴
Тогда ∀𝑛>𝑛0 |𝑥𝑛 ∙ 𝑦𝑛| ≤ |𝑥𝑛| 𝐴<𝜀/𝐴∙ 𝐴 = 𝜀,
т.е. {𝑥𝑛 ∙ 𝑦𝑛} – БМП. ◄
Следствие 1 Произведение 2-х БМП есть БМП.
► по Т2.2 одну из БМП рассматриваем как ограниченную,
тогда по Т2.4 следует, что их произведение есть БМП. ◄
8. Предел пос-ти. Теорема о единственности предела.
Число aR называется пределом последовательности x_n если >0 n₀=n₀()Nn>n₀ |x_n-a|<lim(n->)x_n=a. Если lim(n->)x_n=a, то последовательность называется сходящейся, иначе – расходящейся.
Т2.5 о единственности предела. Сходящаяся последовательность {x_n} имеет только один предел.● Предположим противное. Пусть lin(n->)x_n=a и lin(n->)x_n=b, причем a≠b. <(b-a)/2.  -окрестности не пересекаются и в каждой из них содержатся все члены последовательности, кроме конечного числа, что невозможно. Полученное противоречие доказывает теорему. ●
Т2.6. Сходящаяся последовательность является ограниченной.
● {x_n} – сходящаяся последовательность. a=lim(n->)x_n>0 n₀=n₀()Nn>n₀ |x_n-a|<; a-<_n1|,|x₂|…|x₀|, |a-|, |a+|} тогда nNx_n≤M => {x_n} – огранич. Обратное может быть неверно.
Замечание: lim𝑛→0 𝑥𝑛 = 𝑎⇔ {𝑥𝑛 − 𝑎} – БМП. 𝑥𝑛 − 𝑎 = 𝛼𝑛∀𝑛∈𝑁⇔𝑥𝑛 = 𝑎 + 𝛼𝑛, где {𝛼𝑛} – БМП.