Учебное пособие "Методика преподавания математики"

Использование интеграла при вычислении объема фигур по площадям его поперечных параллельных сечений.

Покажем, как Можно использовать интеграл для нахожде­ния объема фигуры, если известны площади ее поперечных сечений.

Следует начинать о теоретического обоснования метода

.
Рассмотрим фигуру D, ограниченную двумя опорными плоскос­тями α и β, проведенными перпендикулярно оси Ох через точки х = а и х = b (рис. 1). Пусть фигура D обладает следующими свойствами:

1) Любое поперечное сечение фигуры D плоскостью, перпенди­кулярной оси Ох, есть квадрируемая фигура , числовое значение площади которой равно значению функции S(х), определенной и не­прерывной на отрезке
[a, b].
2) Ортогональные проекции любой пары поперечных сечений фигуры D плоскостями, перпендикулярными оси Ох, на опорные плоскости целиком содержатся одна в другой. Тогда фигура D кубируема, и ее объем можно вычислить по формуле
(*)
Доказательство.
Разобьем отрезок [а, b] точками а = а₀, а_1, ..., а_п =b (а₀ < a₁< ... < а_п на п частей [ ] (i = 1, 2, ..., п), одинаковой длины
(i = 1, 2, …, n)
Через точки деления a_i (i = 1, 2, ..., п — 1) проведем плоскости, перпендикулярные оси Ох. В результате указанной операции фигура D разобьется на п «слоев». Функция S (х) непрерывна на отрезке [a, b], поэтому она непрерывна и на каждой его части [a_i-1, a_i] (i =,1, 2,:..., n). По известной теореме функция, непрерывная на отрезке, достигает на этом отрезке своего экстремума; обозначим через m_i наименьшее значение, а через M_i наибольшее значение функции S (x) на отрезке [a_i-1, a_i].
В силу свойства все сечения i-ro «слоя», если их спроектировать на опорную плоскость, будут содержать сечение, значение площади которого равно числу т_i и содержаться в сечении, значение пло­щади которого равно числу M_i.
Построим далее на этих на­ибольшем и наименьшем сечени­ях (как основаниях) цилиндры с образующими, параллельны­ми оси Ох, и высотами, число­вое значение которых равно (рис.2) и числовые значения объемов которых равны M_i и m_i . Отметим, что «боль­ший» цилиндр содержит i-й «слой», т. е. описан около него, а «меньший» содержится в i -m «слое», т. е. вписан в него.
Произведя указанные построения над каждым из отрезков [a_i-1, a_i]
(i = 1, 2, ..., n), получим две фигуры: фигуру, описанную около данной фигуры D, значение объема которой , и фигуру, вписанную в данную фигуру D, значение объема которой . Поэтому

Получили, что существуют последовательности описанных и впи­санных для фигуры D кубируемых фигур, последовательности объе­мов которых имеют общий предел.
Из сказанного следует, что тело D кубируема и ее объем можно вычислять по формуле
В курсе геометрии (X класс) рассмотренный метод можно применять для вычисления объема пирамиды, конуса и шара. В качестве
иллюстрации рассмотрим использование данного метода для вычисления объема пирамиды.
Т ребуется вычислить объем пирамиды, высота которой равна Н и площадь основания равна Q.
Р е ш е н и е. Пусть α — плоскость, в которой лежит основание пирамиды. Проведем через вершину пирамиды плоскость β, парал­лельную плоскости α (рис. 3). Ось Ох выберем так, чтобы она была перпендикулярна плоскостям α и β. Точку пересечения плос­кости β с осью Ох примем за начало координат, тогда абсцисса вершины равна нулю. В этом случае абсцисса точки В пересечения плоскости , α с осью Ох равна Н.
Рассмотрим поперечное сечение пирамиды плоскостью, перпен­дикулярной оси Ох и отстоящей от вершины на расстояние х. Пло­щадь этого сечения обозначим через S (х). Как известно, в пирамиде площадь основания и площадь се­чения, параллельного основанию, относятся как квадраты их расстояний от вершины, поэтому


т.е.
Для вычисления объема пирамиды применим формулу (*)

Рассмотрим теперь доказательство, приведенное в учебном по­собии по геометрии [3.53] при выводе формулы объема пирамиды. Отметим наиболее существенные методические особенности такого доказательства.
Учитель должен иметь в виду, что подобные доказательства встретятся в дальнейшем неоднократно. Следовательно, данное до­казательство является базовым, его основные идеи необходимо усвоить достаточно прочно. Иначе говоря, при объяснении нового материала следует особое внимание уделить наиболее общим, прин­ципиально важным моментам, специально обратив на них внима­ние учащихся.
Первый шаг в доказательстве теоремы есть выяснение того факта, что и площадь параллельного сечения, находящегося на расстоянии х от вершины пирамиды, и объем отсеченной части пирамиды есть функции расстояния. Следует обратить внимание учащихся на своеобразный выбор направления оси абсцисс (сов­падает с высотой) и проверить, что действительно каждому значе­нию х Є [ОН] соответствуют определенные значения S (х) и V (х), т. е. убедиться, что установленные соответствия есть функции. Этот шаг нетруден и должен быть выполнен при активном участии класса.
Следующий шаг — установление границ объема V усечен­ной пирамиды, заключенной между сечением с площадью S (х) и новым сечением с площадью S (х + x). Этот шаг тоже вполне до­ступен, но выполняет его сам учитель, стремясь обеспечить доста­точно отчетливые наглядные представления.
Из свойств гомотетии далее следует, что . Успех этой части доказательства целиком зависит от того, как учитель сумел организовать повторение соответствующего материала.
Теперь начинается наиболее ответственная и в то же время наиболее трудная часть доказательства. Формально дело обстоит так. Из непрерывности функции S (х) следует, что S (x + x) = S(x). Отсюда и из неравенства S (х) < < S (x+ x) вытекает, что = S (x),
т. е. V′ (х) = S (x) . Иначе говоря, функция V (х) есть первообразная для функции S (х). Остается перейти к интегрированию — уча­щиеся вполне могут это сделать самостоятельно. Но нужно быть уверенным, что они хорошо пони­мают равенство S (x + x) = S(x) как аналитическую запись непрерывности, хорошо знают оп­ределение производной и владеют понятием первообразной, т. е. что учащиеся могут в двух-трех строч­ках доказательства синтезировать несколько различных фактов и идей анализа. Известную нега­тивную роль здесь играет и то, что в процессе
последнего (аналитического) этапа доказательства «исчезает» геометрия, замаски­рованная, как говорил французский математик Л. Карно, «иерог­лифами анализа». Учитель должен понимать, что эти трудности носят объективный характер и преодоление их потребует продол­жительной кропотливой работы над каждой деталью доказательства.

3.