|
Задача
1.9.
Определить
,
при
каких
значениях
а
оба
корня
уравнения
х
2
+ 2(
а
– 4)
х
+
а
2
+ 6
а
= 0
положительны
.
Решение
Корни
квадратного
уравнения
положительны
,
если
>
>
+
≥
.
0
,
0
,
0
2
1
2
1
x
x
x
x
D
Для
данного
уравнения
(
)
(
)
>
+
>
−
−
≥
−
−
−
.
0
6
,
0
4
2
,
0
6
4
2
2
2
a
a
a
a
a
a
+
+
−
1
x
2
x
x
26
25
Решая
эту
систему
,
находим
6
−
<
a
,
7
8
0
≤
<
a
.
Ответ
:
6
−
<
a
и
7
8
0
≤
<
a
.
Задача
1.10.
Найти
действительные
значения
а
,
при
которых
корни
х
1
и
х
2
уравнения
2
х
2
– 2(2
а
+ 1)
х
+
а
(
а
– 1)
удовлетворяют
условию
x
1
<
а
<
х
2
.
Решение
Корни
уравнения
должны
быть
действительными
разными
,
поэтому
дискриминант
должен
быть
положительным
.
Поскольку
а
находится
между
корнями
уравнения
,
то
произведение
первого
коэффициента
уравнения
(
ко
-
эффициента
при
х
2
)
на
значение
левой
части
уравнения
при
х
=
а
должно
быть
отрицательным
,
т
.
е
.
решение
задачи
сводится
к
решению
системы
не
-
равенств
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
<
−
+
+
−
>
−
−
+
,
0
1
1
2
2
2
2
,
0
1
8
1
2
4
2
2
a
a
a
a
a
a
a
a
или
>
+
>
+
+
.
0
3
,
0
1
6
2
2
2
a
a
a
a
.
Решая
эту
систему
,
находим
а
< –3
и
а
> 0.
Ответ
:
а
< –3
и
а
> 0.
Задача__1.11.'>Задача
1.11.
Найти
все
действительные
значения
а
,
при
которых
оба
корня
уравнения
(2
а
+ 3)
х
2
+ (
a
+ 1)
х
+ 4 = 0
заключены
между
–2
и
0.
Решение
Корни
уравнения
должны
быть
действительными
,
поэтому
должно
вы
-
полняться
условие
D
≥
0.
Так
как
требуется
,
чтобы
–2 <
x
1
≤
х
2
< 0,
то
числа
–2
и
0
должны
находиться
вне
промежутка
корней
и
,
кроме
того
,
полусумма
корней
2
2
1
x
x
+
должна
находиться
между
данными
числами
.
27
26
Таким
образом
,
решение
задачи
сводится
к
решению
системы
нера
-
венств
(
)
(
)
(
)(
)( ) (
)( )
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
<
+
+
−
<
−
>
+
⋅
+
+
⋅
+
+
>
+
−
+
+
−
+
+
≥
+
−
+
,
0
3
2
2
1
2
,
0
4
0
1
0
3
2
3
2
,
0
4
2
1
2
3
2
3
2
,
0
3
2
16
1
2
2
2
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
или
(
)(
)
<
+
+
<
>
+
>
+
+
≥
−
−
.
4
3
2
1
0
,
0
3
2
,
0
7
3
3
2
,
0
47
30
2
a
a
a
a
a
a
a
Решая
последнюю
систему
,
находим
17
4
15
+
>
a
.
Ответ
:
17
4
15
+
>
a
.
Задача
1.12.
Найти
,
при
каких
значениях
а
уравнение
(
а
– 2)
х
2
– 2(
а
+ 3)
х
+ 4
а
= 0
имеет
один
корень
меньше
2,
а
второй
–
больше
3.
Решение
По
условию
x
1
< 2 < 3 <
х
2
,
т
.
е
.
числа
2
и
3
должны
находиться
между
корнями
,
поэтому
решение
задачи
сводится
к
решению
системы
неравенств
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
<
+
⋅
+
−
⋅
−
−
<
+
⋅
+
−
⋅
−
−
>
⋅
−
−
+
,
0
4
3
3
2
3
2
2
,
0
4
2
3
2
2
2
2
,
0
4
2
4
3
4
2
2
2
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
или
(
)(
)
(
)
<
−
−
<
−
−
<
−
−
.
0
7
36
2
,
0
5
2
,
0
9
14
3
2
a
a
a
a
a
a
28
27
Решая
эту
систему
,
находим
2 <
a
< 5.
Ответ
. 2 <
а
< 5.
При
решении
многих
задач
с
параметрами
,
в
частности
при
решении
па
-
раметрических
квадратных
уравнений
и
неравенств
,
нужно
безукоризненно
знать
свойства
квадратного
трехчлена
.
При
решении
таких
задач
приходится
работать
с
тремя
типами
моделей
:
1)
вербальная
модель
–
словесное
описание
задачи
;
2)
геометрическая
модель
–
график
квадратичной
функции
;
3)
аналитическая
модель
–
система
неравенств
,
при
помощи
которой
описывается
геометрическая
модель
.
Надо
добиться
того
,
чтобы
ученики
устанавливали
связь
между
этими
моделями
.
Например
,
если
старший
коэффициент
квадратного
трехчлена
меньше
нуля
,
то
ветви
параболы
направлены
вниз
,
или
,
если
D
=
b
2
– 4
ac
> 0,
то
трехчлен
имеет
различные
действительные
корни
и
график
пересекает
ось
абсцисс
в
двух
точках
.
График
у
=
ах
2
+
b
х
+
с
(
парабола
)
находится
ниже
оси
абсцисс
,
следовательно
,
а
< 0
и
D
< 0.
Последнюю
геометрическую
мо
-
дель
можно
описать
еще
тремя
способами
:
неравенство
ах
2
+
b
х
+
с
< 0
вы
-
полняется
при
любом
х
;
неравенство
ах
2
+
b
х
+
с
> 0
не
имеет
решений
;
трех
-
член
не
имеет
действительных
корней
и
его
старший
коэффициент
отрицате
-
лен
.
Задачи
,
приведенные
ниже
,
решают
по
следующему
алгоритмическому
предписанию
:
1)
уравнение
записывают
в
виде
f(x;
а
)
= 0;
2)
выбирают
контрольные
значения
параметра
(
в
качестве
контрольных
значений
параметра
чаще
всего
берут
такие
,
что
D
= 0,
D
< 0,
D
> 0,
старший
коэффициент
квадратного
трехчлена
положительный
,
отрицательный
,
рав
-
ный
нулю
и
те
значения
параметра
,
при
которых
квадратный
трехчлен
стано
-
вится
неполным
);
3)
для
каждого
случая
строят
параболу
(
геометрическую
модель
);
29
28
4)
геометрическую
модель
описывают
системой
неравенств
(
аналити
–
ческая
модель
);
5)
решают
систему
неравенств
.
Применение
этого
предписания
проиллюстрируем
ниже
на
примерах
,
а
пока
продолжим
разговор
о
квадратном
трехчлене
.
Квадратным
трехчленом
относительно
х
называется
выражение
вида
ах
2
+
b
х
+
с
,
где
а
, b,
с
–
заданные
числа
,
причем
а
≠
0.
Значения
х
,
при
которых
квадрат
-
ный
трехчлен
обращается
в
нуль
,
называются
корнями
трехчлена
.
Задачи
,
при
решении
которых
требуется
знание
свойств
квадратного
трехчлена
,
нередко
встречаются
в
ЕГЭ
по
математике
и
на
вступительных
эк
-
заменах
в
вузы
.
Многие
школьники
без
затруднений
выписывают
различные
формулы
,
умеют
изобразить
график
квадратичной
функции
у
=
ах
2
+
b
х
+
с
,
знают
ее
основные
свойства
.
Однако
эти
знания
часто
бывают
формальными
,
абитуриентам
не
удается
их
применить
при
решении
задач
,
относящихся
к
рассматриваемой
теме
.
Мы
покажем
на
примерах
,
как
важно
бывает
умение
сочетать
алгебраи
-
ческие
и
геометрические
соображения
при
решении
таких
задач
.
Задача
1.13.
Найдите
наибольшее
значение
квадратного
трехчлена
у
= –2
х
2
+ 4
х
– 5.
Решение
Для
решения
этой
задачи
можно
,
конечно
,
пользоваться
производной
,
но
можно
обойтись
и
без
нее
.
Применим
метод
выделения
полного
квадрата
:
у
= –2
х
2
+ 4
х
– 5 = –2(
х
2
– 2
х
+ 1) + 2 – 5 = –2(
х
– 1)
2
– 3.
Отсюда
видно
,
что
наибольшее
значение
квадратного
трехчлена
равно
–3
и
достигается
при
х
= 1.
Заметим
,
что
метод
выделения
полного
квадрата
применяется
для
полу
-
чения
формулы
корней
квадратного
уравнения
,
а
также
для
построения
гра
-
30
29
фика
квадратичной
функции
у
=
ах
2
+
b
х
+
с
.
Выделяя
полный
квадрат
,
полу
-
чаем
a
b
ac
a
b
x
a
y
2
4
2
2
2
−
+
+
=
,
откуда
следует
,
что
график
функции
у
=
ах
2
+
b
х
+
с
получается
параллель
-
ным
переносом
параболы
у
=
ах
2
на
вектор
−
−
a
b
ac
a
b
2
4
;
2
2
.
Do'stlaringiz bilan baham: |
