|
Задача
1.4.
При
каждом
значении
параметра
а
решите
уравнение
ах
– 6 = 2
а
– 3
х
.
(1)
Решение
Переписав
уравнение
в
виде
(
а
+ 3)
х
= 2(
а
+ 3),
рассмотрим
два
случая
:
а
= –3
и
а
≠
–3,
Если
а
= –3,
то
любое
действительное
число
х
(
х
∈
R
)
является
корнем
уравнения
(1).
Если
же
а
≠
–3,
то
уравнение
(1)
имеет
единственный
корень
х
= 2.
Ответ
:
х
∈
R
при
a
= –3;
х
= 2
при
а
≠
–3.
Задача
1.5.
При
каком
значении
параметра
а
уравнение
а
(
х
– 1) = 2
х
+ 5
(2)
не
имеет
корней
?
Решение
Перепишем
уравнение
(2)
в
виде
(
а
– 2)
х
=
а
+ 5.
(2')
Если
а
= 2,
то
уравнение
(2')
не
имеет
корней
.
Ответ
:
при
а
= 2.
22
21
Задача
1.6.
Найдем
все
значения
параметра
а
,
при
каждом
из
которых
число
7
является
единственным
корнем
уравнения
х
– 7 =
ах
– 7
а
2
.
(3)
Решение
Способ
I.
Если
для
некоторого
значения
параметра
а
число
7
является
корнем
уравнения
(3),
то
для
этого
значения
а
справедливо
равенство
7 – 7 = 7
а
– 7
а
2
,
или
равенство
а
(
а
– 1) = 0.
Равенство
справедливо
при
а
= 0
или
при
а
= 1.
Внимание
!
Мы
еще
не
получили
ответа
,
так
как
нашли
два
значения
а
,
предполагая
,
что
число
7
является
корнем
уравнения
.
Но
этот
корень
должен
быть
единственным
,
поэтому
еще
требуется
проверить
,
является
ли
число
7
единственным
корнем
уравнения
(3)
при
а
= 0
или
при
а
= 1.
Если
а
= 0,
то
уравнение
(3)
перепишем
в
виде
х
– 7 = 0.
При
a
= 0
число
7
является
единственным
корнем
уравнения
(3).
Если
же
а
= 1,
то
уравнение
(3)
перепишем
в
виде
х
– 7 =
х
– 7.
При
а
= 1
любое
действительное
число
является
корнем
уравнения
(3),
следовательно
,
число
7
не
является
единственным
корнем
уравнения
(3).
Способ
II.
Перепишем
уравнение
(3)
в
виде
х
(
а
– 1) = 7(
а
– 1)(
а
+ 1).
(3')
При
а
= 1
корнем
уравнения
(3')
является
любое
число
,
то
есть
число
7
не
является
единственным
корнем
уравнения
.
Поэтому
в
уравнении
(3')
а
≠
1.
Но
тогда
это
уравнение
имеет
единственный
корень
х
= 7(
а
+ 1).
Условие
за
-
дачи
будет
выполнено
,
если
этот
единственный
корень
есть
число
7:
7(
а
+ 1) = 7,
то
есть
при
а
= 0.
Ответ
:
а
= 0.
23
22
Рассмотрим
в
общем
виде
уравнение
с
параметрами
f(x, a, b, c, …, p)
= 0.
Если
вместо
параметров
a, b, c, …, p
подставить
числовые
значения
а
=
а
0
,
b = b
0
,
c = c
0
, …,
p = p
0
и
при
этом
уравнение
определено
,
то
говорят
,
что
система
значений
параметров
а
0
,
b
0
,
c
0
, ...,
р
0
допустима
для
уравнения
;
если
же
при
этих
значениях
параметров
уравнение
не
определено
,
то
говорят
,
что
система
значений
параметров
не
допустима
для
уравнения
.
Исследование
будем
проводить
в
множестве
действительных
чисел
.
Исследовать
уравнение
–
это
значит
:
а
)
определить
множество
допустимых
значений
неизвестного
и
парамет
-
ров
;
б
)
для
каждой
допустимой
системы
значений
параметров
найти
соответ
-
ствующие
множества
решений
уравнения
.
Рассмотрим
,
несколько
примеров
на
полное
исследование
уравнений
первой
степени
с
одним
неизвестным
.
Проведем
исследование
уравнения
первой
степени
с
одним
неизвест
-
ным
.
Простейшее
уравнение
первой
степени
с
одним
неизвестным
имеет
вид
ах
= b
.
А
.
При
а
≠
0
уравнение
имеет
единственное
решение
a
b
x
=
,
которое
бу
-
дет
:
положительным
(
х
> 0),
если
>
>
0
,
0
b
a
или
<
<
;
0
,
0
b
a
нулевым
(
х
= 0),
если
≠
=
;
0
,
0
a
b
отрицательным
(
х
<0),
если
<
>
0
,
0
b
a
или
>
<
.
0
,
0
b
a
Б
.
Если
а
= 0,
то
при
b
= 0
уравнение
имеет
бесчисленное
множество
решений
(
х
–
любое
действительное
число
);
при
b
≠
0
решений
не
имеет
.
24
23
Рассмотрим
несколько
примеров
.
Задача
1.7.
Решить
уравнение
ах
= 1.
Решение
На
первый
взгляд
представляется
возможным
сразу
дать
ответ
:
a
x
1
=
.
Однако
при
а
= 0
данное
уравнение
решений
не
имеет
,
и
верный
ответ
вы
-
глядит
так
:
Ответ
.
Если
а
= 0,
то
нет
решений
;
если
а
≠
0,
то
a
x
1
=
.
Задача
1.8.
Решить
уравнение
(
а
2
– 1)
х
=
а
+ 1.
Решение
Нетрудно
сообразить
,
что
при
решении
этого
уравнения
достаточно
рас
-
смотреть
такие
случаи
:
1)
а
= 1;
тогда
уравнение
принимает
вид
0
х
= 2
и
не
имеет
решений
;
2)
а
= –1;
получаем
0
х
= 0,
и
очевидно
х
–
любое
.
3)
а
≠
±
1;
имеем
1
1
−
=
a
x
.
Сделаем
одно
замечание
.
Существенным
этапом
решения
задач
с
пара
-
метрами
является
запись
ответа
.
Особенно
это
относится
к
тем
примерам
,
где
решение
как
бы
«
ветвится
»
в
зависимости
от
значений
параметра
.
В
подоб
-
ных
случаях
составление
ответа
–
это
сбор
ранее
полученных
результатов
.
И
здесь
очень
важно
не
забыть
отразить
в
ответе
все
этапы
решения
.
В
только
что
разобранном
примере
запись
ответа
практически
повторяет
решение
.
Тем
не
менее
мы
считаем
целесообразным
привести
ответ
.
Ответ
.
Если
а
= –1 ,
то
х
–
любое
;
если
а
= 1,
то
нет
решений
;
если
а
≠
± 1,
то
1
1
−
=
a
x
.
Проведем
исследование
квадратного
уравнения
.
Рассмотрим
уравнение
ax
2
+
bx +
с
= 0, (
a
≠
0).
(1)
25
24
Обозначим
левую
часть
через
f(
х
)
,
т
.
е
.
f(
х
)
=
ax
2
+
bx +
с
.
Если
уравнение
(1)
имеет
действительные
и
различные
корни
,
то
f(
х
)
можно
представить
в
виде
f(
х
)
=
а
(
х
–
х
1
)(
x – x
2
) (
x
1
<
х
2
).
Построим
«
змейку
», (
рис
. 1)
для
произведения
(
х
–
х
1
)(
x – x
2
).
Если
а
> 0,
то
f(x)
< 0
при
x
1
<
х
<
х
2
и
f(
х
)
> 0
при
x
<
x
1
и
х
>
х
2
.
Если
а
< 0,
то
f(x)
< 0
при
x
<
x
1
и
х
>
х
2
и
f(
х
)
> 0
при
x
1
<
х
<
х
2
.
Рис
. 1
Вывод
.
Если
число
х
=
α
лежит
между
корнями
квадратного
уравнения
(1),
то
левая
часть
этого
уравнения
при
х
=
α
,
т
.
е
.
a
α
2
+
b
α
+
c
имеет
знак
,
противоположный
знаку
первого
коэффициента
а
;
если
число
х
=
β
лежит
вне
промежутка
корней
уравнения
(1),
то
левая
часть
этого
уравнения
при
х
=
β
,
т
.
е
.
a
β
2
+
b
β
+
с
имеет
такой
же
знак
,
как
и
первый
коэффициент
.
Пользуясь
описанным
выводом
,
легко
определить
,
как
расположено
за
-
данное
число
относительно
корней
уравнения
.
Do'stlaringiz bilan baham: |
