Учебное пособие для спо 2-е издание, исправленное и дополненное Ðåêîìåíäîâàíî Ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêèì îòäåëîì

Преäисловие
3 
ПРЕДИСЛОВИЕ
 
В
последнее
время
задачи
с
параметрами
стали
неотъемлемой
частью
ЕГЭ
по
математике
. 
Решение
любой
из
таких
задач
предполагает
небольшое
исследование
и
, 
как
правило
, 
потому
и
вызывает
у
учащихся
определенные
трудности
. 
Решение
задач
с
параметрами
требует
от
учащихся
не
только
зна
-
ний
свойств
функций
, 
уравнений
и
неравенств
, 
умения
выполнять
алгебраи
-
ческие
преобразования
, 
но
также
высокой
логической
культуры
и
хорошей
техники
исследования
. 
Задачи
с
параметрами
требуют
к
себе
своеобразного
подхода
по
сравнению
с
остальными
– 
здесь
необходимо
грамотное
и
тща
-
тельное
исследование
. 
Задачи
с
параметрами
представляют
для
учащихся
наибольшие
труднос
–
ти
как
в
логическом
, 
так
и
в
техническом
плане
. 
Примерами
могут
служить
задачи
: 
Задача__1.'>Задача
 1.
(
ЕГЭ
, 2003 
г
.) 
Из
области
определения
функции








−
=
+
+
4
4
7
7
log
x
x
a
a
a
y
взяли
все
целые
положительные
числа
и
сложили
их
. 
Найдите
все
положительные
значения
а
, 
при
которых
такая
сумма
будет
больше
7, 
но
меньше
11.
Задача
2.
(
ЕГЭ
, 2006 
г
.) 
Найдите
все
значения
а
, 
при
которых
область
определения
функции






+
−
=
+
a
x
x
a
y
a
3
ln
log
17
содержит
отрезок
длиной
5, 
сос
–
тоящий
из
положительных
чисел
. 
Задача
 3.
(
ЕГЭ
, 2009 
г
.) 
Найдите
все
значения
параметра
р
, 
при
каждом
из
которых
уравнение
(
)
(
)
0
41
11
125
,
0
154
29
32
7
5
,1
3
2
,
0
4
,
0
=
−
+
⋅
−
+
⋅
−
−
+
p
p
p
x
x
имеет
ровно
10
р
– 
р
2
– 24 
различных
корней
.
В
задачах
с
параметрами
наряду
с
неизвестными
величинами
фигуриру
-
ют
величины
, 
численные
значения
которых
хотя
и
не
указаны
конкретно
, 
но
считаются
известными
и
заданными
на
некотором
числовом
множестве
. 
При
5

---

4 
этом
параметры
, 
входящие
в
условие
задачи
, 
существенно
влияют
на
логиче
-
ский
и
технический
ход
решения
и
форму
ответа
. 
Задачи
с
параметрами
весьма
и
весьма
разнообразны
. 
Общих
методов
их
решения
не
существует
(
за
исключением
разве
что
линейных
уравнений
, 
не
-
равенств
и
систем
уравнений
с
параметром
, 
квадратных
уравнений
и
задач
, 
связанных
с
расположением
корней
квадратного
трехчлена
относительно
за
-
данных
чисел
). 
Единственное
, 
что
объединяет
все
задачи
с
параметрами
, – 
это
то
, 
что
любую
из
них
можно
отнести
к
одной
из
двух
следующих
групп
: 
задачи
, 
в
которых
требуется
найти
все
значения
параметра
, 
при
каждом
из
которых
выполняется
некоторое
условие
(
неравенство
имеет
решение
, 
корни
уравнения
принадлежат
заданному
промежутку
и
т
.
д
.), 
и
задачи
, 
в
которых
требуется
решить
уравнение
(
неравенство
, 
систему
) 
с
параметрами
. 
В
по
-
следнем
случае
нужно
установить
, 
при
каких
значениях
параметра
задача
имеет
решения
, 
и
указать
эти
решения
для
каждого
из
значений
параметра
(
если
при
каких
-
то
значениях
параметра
решений
нет
, 
то
в
ответе
следует
именно
так
и
написать
, – 
в
противном
случае
решение
может
быть
сочтено
неполным
). 
Решение
большинства
задач
с
параметрами
так
или
иначе
связано
со
свойствами
линейной
и
квадратичной
функций
. 
Любое
линейное
уравнение
с
параметром
а
можно
привести
к
виду
f(
а
)
⋅
х
= 
g(a)
. 
Если
f(
а
)
≠
0, 
уравнение
имеет
единственное
решение
( )
( )
a
f
a
g
x
=
. 
В
про
-
тивном
случае
уравнение
либо
не
имеет
решений
(
если
f(
а
)
= 0, a 
g(a)
≠
0), 
либо
имеет
бесконечное
множество
решений
(
если
f(
а
)
= 0 
и
g(a)
= 0). 
Решение
линейных
неравенств
с
параметром
а
, 
любое
из
которых
можно
привести
к
виду
f(
а
)
⋅
х
∨
g(a)
6

---

5 
(
символом
«
∨
» 
обозначен
один
из
знаков
<, >, 
≤
, 
≥
), 
основано
на
рассмотре
-
нии
трех
случаев
: 
f(
а
)
> 0 (
в
этом
случае
при
делении
на
f(
а
)
обеих
частей
не
-
равенства
его
знак
не
меняется
), 
f(
а
)
= 0 (
в
этом
случае
неравенство
либо
не
имеет
решений
, 
либо
выполняется
при
любых
значениях
переменной
в
зави
-
симости
от
знака
неравенства
и
значения
выражения
g(a)
), 
f(
а
)
< 0 (
в
этом
случае
при
делении
на
f(
а
)
обеих
частей
неравенства
его
знак
меняется
на
противоположный
). 
При
решении
систем
линейных
уравнений
удобно
поль
-
зоваться
тем
, 
что
любое
линейное
уравнение
является
уравнением
некоторой
прямой
. 
Поэтому
система
двух
линейных
уравнений
либо
имеет
единствен
-
ное
решение
(
соответствующие
прямые
пересекаются
), 
либо
имеет
бесконеч
-
ное
множество
решений
(
прямые
совпадают
), 
либо
не
имеет
решений
(
пря
-
мые
параллельны
). 
Решение
задач
, 
содержащих
квадратный
трехчлен
с
параметром
, 
осно
-
вано
на
свойствах
квадратичной
функции
. 
Расположение
корней
квадратного
трехчлена
относительно
заданных
точек
можно
полностью
описать
, 
если
знать
направление
ветвей
соответствующей
параболы
, 
абсциссу
вершины
, 
дискриминант
и
знаки
квадратного
трехчлена
в
заданных
точках
. 
Обратим
внимание
на
то
, 
что
при
таком
подходе
приходится
иметь
дело
лишь
с
систе
-
мами
линейных
и
квадратных
неравенств
, 
в
то
время
как
формальная
запись
условий
«
корень
квадратного
трехчлена
больше
(
меньше
) 
заданного
числа
» 
приводит
к
системам
довольно
громоздких
иррациональных
неравенств
. 
Многие
задачи
ЕГЭ
по
математике
сводятся
к
задачам
на
исследование
квад
-
ратного
трехчлена
с
параметром
после
выполнения
преобразований
или
за
-
мены
переменной
. 
В
последнем
случае
важнейшим
этапом
решения
является
выписывание
ограничений
на
вводимую
переменную
и
переформулировка
задачи
в
«
терминах
квадратного
трехчлена
». 
Наиболее
распространенной
ошибкой
в
такого
рода
задачах
является
игнорирование
области
значений
вводимой
переменной
. 
Например
, 
если
требуется
найти
, 
при
каких
значениях
параметра
квадратное
относительно
l
х
уравнение
имеет
единственное
реше
-
7

---

6 
ние
, 
задачу
после
замены
z
= 
l
х
(
z
> 0) 
следует
переформулировать
так
: 
при
каких
значениях
параметра
квадратное
(
относительно
z
) 
уравнение
имеет
единственный
положительный
корень
. 
Типичной
ошибкой
при
решении
та
-
кого
рода
задач
является
то
, 
что
после
замены
переменной
находят
(
из
усло
-
вия
равенства
нулю
дискриминанта
уравнения
), 
при
каких
значениях
пара
-
метра
полученное
уравнение
имеет
единственный
корень
, 
забывая
о
том
, 
что
уравнение
может
иметь
и
два
корня
– 
важно
лишь
то
, 
чтобы
только
один
из
них
был
положительным
. 
Если
требуется
решить
уравнение
, 
неравенство
или
их
систему
, 
содер
-
жащих
параметр
, 
то
необходимо
выяснить
, 
при
каких
значениях
параметра
уравнение
имеет
решение
и
для
всех
таких
значений
параметра
найти
все
решения
. 
Заметим
, 
что
если
хотя
бы
одно
значение
параметра
не
исследовано
, 
то
решение
задачи
не
считается
полным
. 
В
основу
решения
задач
с
параметрами
может
быть
положен
следующий
принцип
: 
значение
параметра
(
или
параметров
) 
считается
произвольно
фик
-
сированным
, 
и
затем
ищется
решение
задачи
так
, 
как
это
мы
делаем
, 
обраща
-
ясь
с
уравнениями
и
неравенствами
с
одним
неизвестным
. 
Ответом
должно
быть
перечисление
решений
для
каждого
допустимого
значения
параметра
, 
что
требует
проведения
исследования
. 
Для
проведения
исследования
, 
множество
всех
значений
параметра
по
некоторому
целесообразному
признаку
разбивают
на
подмножества
и
затем
решают
заданное
уравнение
или
неравенство
на
каждом
из
этих
подмно
-
жеств
. 
Множество
значений
параметра
разбивают
на
подмножества
теми
значениями
параметра
, 
при
которых
или
при
переходе
через
которые
проис
-
ходят
качественные
изменения
уравнения
.
Задачи
с
параметрами
представляют
собой
широкое
поле
для
полноцен
-
ной
математической
деятельности
. 
Решение
этих
задач
открывают
перед
учащимися
значительное
число
эвристических
приемов
общего
характера
, 
ценных
для
математического
развития
личности
. 
8

---

7 
Задачи
с
параметрами
обладают
диагностической
и
прогностической
ценностью
. 
Они
позволяют
проверить
знание
основных