|
Задача
1.18.
При
каких
а
все
корни
уравнения
(
х
–
а
)
2
=
а
расположены
на
отрезке
(–2; 6]?
Решение
Приведем
уравнение
к
виду
х
2
– 2
ах
+
а
2
–
а
= 0.
Обозначим
f(
х
;
а
)
=
х
2
– 2
ах
+
а
2
–
а
.
Если
в
задаче
идет
речь
о
корнях
,
то
уравнение
должно
иметь
действи
-
тельные
корни
:
D
≥
0;
D
= 4
a
2
– 4(
а
2
–
а
) = 4
а
а
≥
0.
Так
как
ветви
параболы
направлены
вверх
и
корни
уравнения
располо
-
жены
на
отрезке
[–2; 6],
то
f
(–2;
а
)
≥
0,
f
(6;
a
)
≥
0 (
рис
. 11).
36
35
Рис
. 11
Учитывая
,
что
х
в
есть
середина
отрезка
[
х
1
;
х
2
],
имеем
–2
≤
х
в
≤
6 (
знак
равенства
,
когда
х
1
=
х
2
).
В
результате
получаем
,
что
все
корни
уравнения
расположены
на
отрезке
[–2; 6]
тогда
и
только
тогда
,
когда
(
)
( )
[
)
(
)
(
] [
)
[
]
[ ]
.
4
;
0
6
;
2
,
;
9
4
;
,
;
,
;
0
6
2
2
2
,
0
36
13
,
0
4
3
,
0
6
2
,
0
;
6
,
0
;
2
,
0
2
2
∈
−
∈
+∞
∞
−
∈
+∞
∞
−
∈
+∞
∈
≤
≤
−
≥
+
−
≥
+
+
≥
≤
≤
−
≥
≥
−
≥
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
D
x
a
f
a
f
D
в
Ответ
:
а
∈
[0;4].
Задача
1.19.
Найдите
все
значения
параметра
а
,
при
которых
все
корни
уравнения
(2 –
а
)
х
2
– 3
ах
+ 2
а
= 0
больше
2
1 .
Решение
Введем
следующие
обозначения
:
f
(
х
;
a
) = (2 –
а
)
х
2
– 3
ах
+ 2
а
,
(
)
a
a
x
в
−
=
2
2
3
,
D = 9
а
2
– 4
⋅
2
a
(2 –
a
) =
a
(17
a
– 16).
Если
а
= 2,
то
3
2
=
x
>
2
1
3
2
.
Чтобы
сформулировать
нужные
условия
,
представим
себе
график
трехчлена
f(
х
;
а
)
,
оба
корня
которого
больше
2
1 .
O
x
y
6
2
−
1
x
2
x
3
x
(
)
a
f
;
2
−
37
36
>
>
>
2
1
,
0
;
2
1
,
0
в
x
a
f
D
(
рис
. 12);
>
>
>
−
=
2
1
,
0
;
2
1
,
0
2
,
0
в
x
a
f
a
D
(
рис
. 13);
Рис
. 12
Рис
. 13
>
<
<
−
>
2
1
,
0
;
2
1
,
0
2
,
0
в
x
a
f
a
D
(
рис
. 14);
>
<
<
−
=
2
1
,
0
;
2
1
,
0
2
,
0
в
x
a
f
a
D
(
рис
. 15);
Рис
. 14
Рис
. 15
Объединяя
эти
условия
,
получим
O
x
y
2
1
O
x
y
2
1
O
x
y
2
1
O
x
y
2
1
38
37
(
)
(
)
(
)
(
)(
)
(
]
(
)
∈
−
∈
∈
+∞
∞
−
∈
>
−
+
>
−
≥
−
>
−
>
≥
2
;
17
16
2
;
2
,
2
;
7
2
,
;
17
16
0
;
0
4
2
2
,
2
1
2
2
3
,
0
16
17
0
2
;
2
1
,
2
1
,
0
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
f
x
D
в
.
Ответ
:
∈
2
;
17
16
a
.
Неравенства
вида
f
1
(
x
) >
f
2
(
x
),
f
1
(
x
)
≥
f
2
(
x
),
f
1
(
x
) <
f
2
(
x
),
f
1
(
x
)
≤
f
2
(
x
),
где
f
1
(
x
)
и
f
2
(
x
) –
линейные
функции
переменной
x
(
одна
из
которых
может
быть
постоянной
),
называются
неравенствами
первой
степени
с
одним
неиз
-
вестным
.
Всякое
линейное
неравенство
с
одним
неизвестным
всегда
можно
при
-
вести
к
каноническому
виду
ах
+ b
> 0.
(1)
Решение
неравенства
ах
+ b
> 0:
а
)
если
а
> 0,
то
,
по
известной
теореме
,
после
умножения
обеих
частей
неравенства
на
a
1
> 0,
получим
равносильное
данному
неравенство
0
>
+
a
b
x
,
из
которого
следует
a
b
x
−
>
;
б
)
если
а
< 0,
то
,
после
умножения
обеих
частей
данного
неравенства
на
a
1
< 0,
получим
равносильное
данному
неравенство
0
<
+
a
b
x
,
из
которого
следует
a
b
x
−
<
;
в
)
если
а
= 0,
то
при
b
≤
0
для
любого
действительного
значения
х
нера
-
венство
обращается
в
неверное
и
решений
не
имеет
,
а
при
b
> 0
данное
нера
-
39
38
венство
верно
при
всех
действительных
значениях
х
,
т
.
е
.
все
действительные
числа
являются
решениями
неравенства
.
Следует
отметить
,
что
неравенство
ах
+ b
< 0
можно
привести
к
виду
–
ах
–
b
> 0
умножением
обеих
его
частей
на
– 1.
Рис
. 16
Исследование
двучлена
ах
+ b
(
а
≠
0).
Найдём
корень
или
нуль
двучле
-
на
(
значение
х
,
при
котором
ах
+ b
= 0):
a
b
x
−
=
.
Представим
двучлен
в
виде
(
)
0
≠
+
a
a
b
x
a
;
при
a
> 0
двучлен
будет
положительным
,
если
0
>
+
a
b
x
(
т
.
е
.
при
a
b
x
−
>
)
и
отрицательным
,
если
0
<
+
a
b
x
(
т
.
е
.
при
a
b
x
−
<
).
Вывод
.
Если
а
> 0,
то
двучлен
ах
+ b
положителен
при
значениях
х
,
больших
корня
,
и
отрицателен
при
значениях
х
,
меньших
корня
(
при
а
< 0 –
наоборот
).
Геометрически
это
означает
,
что
при
а
> 0
двучлен
ах
+ b
положителен
справа
и
отрицателен
слева
от
своего
корня
(
рис
. 16).
Линейным
неравенством
с
одним
неизвестным
,
содержащим
параметр
,
называется
равенство
вида
k
(
a
)
⋅
x
>
b
(
a
).
(*)
Конечно
же
,
к
нему
относятся
и
те
,
которые
содержат
знаки
неравенств
«<», «
≥
», «
≤
».
Алгоритм
решения
неравенств
вида
(*)
приведен
в
таблице
2.
+
−
a
b
x
40
39
Таблица
2
Алгоритм
решения
неравенства
k(a)
⋅
x > b(a)
Условие
для
поиска
значений
параметра
а
Характеристика
множества
решений
1.
k(a)
не
имеет
смысла
решений
нет
2.
b(
а
)
не
имеет
смысла
решений
нет
3.
k(a)
= 0,
b(a)
> 0
решений
нет
4.
k(a)
> 0,
b(a)
имеет
смысл
( )
( )
a
k
a
b
x
>
5.
k(a)
< 0,
b(a)
имеет
смысл
( )
( )
a
k
a
b
x
<
6.
k(a)
= 0,
b(a)
< 0
х
–
любое
из
R
Рассмотрим
примеры
.
Do'stlaringiz bilan baham: |
