Учебное пособие для бакалавров педагогических вузов. Настоящее учебное пособие предназначено для студентов-бакалавров

IV BOB. FUNKSIONAL ANALIZNING
VARIATSION HISOBDAGI TATBIQI 

Variatsion hisobning metodlari birinchi bo‘lib I.Bernulli tomonidan 1696

yilda quyidagi masalani yechishda shakllantirilgan edi:
“Aytaylik
M moddiy nuqta tekislikka tegishli va bir to‘g‘ri chiziqda
yotmaydigan A va B nuqtalarni tutashtiruvchi, egri chiziq bo‘ylab og‘irlik kuchi
ta’sirida harakatlanayotgan bo‘lsin. Egri chiziq qanday bo‘lganda moddiy nuqta bir
nuqtadan ikkinchi nuqtagacha bo‘lgan yo‘lni eng kam vaqtda bosib o‘tadi?”

Izlanayotgan egri chiziqni I.Bernulli braxistoxron deb nomlagan. Kirish

qismida bu masala haqida gapirgan edik. Ushbu bobda shu masala va unga
o‘xshash boshqa maslalarni qanday yechish mumkinligini ko‘rsatamiz.
Braxistoxron
haqidagi
masala tekislikdagi A va B nuqtalarni tutashtiruvchi
uzluksiz egri chiziqlar to‘plamida aniqlangan funksionalning minimumini topish
masalasidan iborat.
Variatsion hisob funksionallarning ekstremumlarini topishning umumiy
metodlarini o‘rganadi. So‘ngi paytlarda variatsion hisob cheksiz o‘lchamli
fazolarda differensial hisob deb ham yuritilmoqda. Biz bu bobda funksional
analizning variatsion hisobdagi tatbiqini o‘rganishda tez-tez uchrab turadigan
funksionalning ekstremumini topish bilan bog‘liq bo‘lgan masalalarni qaraymiz.

1-§. Differensial, funksionalning variatsiyasi 
Faraz
qilaylik,
E chiziqli normalangan fazoda F funksional aniqlangan va
0
x
E
∈
bo‘lsin.
Agar
x
0
nuqtaning O
δ
(x
0
)={x
∈E,
0
x
x
δ
−
<
} atrofi mavjud bo‘lib, bu
atrofdan olingan ixtiyoriy x uchun
0
( )
( )
F x
F x
>

(1)
tengsizlik bajarilsa, u holda F funksional x

0
nuqtada maksimumga ega deyiladi.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Shunga o‘xshash, agar x

0
nuqtaning O
δ
(x
0
) atrofi mavjud bo‘lib, bu atrofdan
olingan ixtiyoriy x uchun
0
( )
( )
F x
F x
<

(2)
tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, u holda F funksional x

0
nuqtada minimumga ega deyiladi.

Matematik analizdagi kabi, funksional maksimumga yoki minimumga ega

nuqtalar ekstremum nuqtalar deb ataymiz.

(1) va (2) tengsizliklardan funksional ekstremumini topishda funksionalning

x
0
nuqtadagi orttirmasi muhim ahamiyatga ega:
0
( )
( )
F
F x
F x
∆ =
−
.
Ravshanki,
agar
x
0
nuqtaning shunday O
δ
(x
0
) atrofi mavjud bo‘lib, bu
atrofda funksional orttirmasi o‘z ishorasini saqlasa, u holda x
0
funksionalning
ekstremum nuqtasi bo‘ladi.

Matematik analizdagi kabi orttirmaning bosh qismini ajratib olish masalasini

qarash mumkin. Ma’lumki, orttirmaning bosh qismi orttirmaning ishorasini aniqlar
edi.

Ta’rif. Agar F funksionalning x

0
nuqta O
δ
(x
0
) atrofidagi

0
0

( )
( )
( )
(
)
( )
0
F x
F x
F x
F x
h
F x
∆
=
−
=
+ −

orttirmasini

0
0
( )
( , )
( , )
F x
L x h
r x h
∆
=
+

ko‘rinishda yozish mumkin bo‘lsa, u holda F funksional x

0
nuqtada
differensiallanuvchi deyiladi.
Bu yerda L(x
0
,h) funksional h ga bog‘liq chiziqli funksional, r(x
0
,h) esa h
ga nisbatan yuqori tartibli cheksiz kichik:
0
( , )
(
)
r x h
o h
=
.
Uning bosh chiziqli qismi bo‘lgan L(x
0
,h) funksional esa, F funksionalning
x
0
nuqtadagi differensiali, ko‘p hollarda funksionalning x
0
nuqtadagi variatsiyasi
deyiladi va
0
( , )
F x h
δ
kabi belgilanadi.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Differensiallanuvchi
funksionalga misol sifatida C[a,b] fazoda aniqlangan
funksionalni qarash mumkin, bu yerda f(t,x) uzluksiz xususiy
hosilaga ega bo‘lgan uzluksiz funksiya. Uning orttirmasi quyidagiga teng:
( )
( , ( ))
b
a
F x
f t x t dt
=
∫
( , )
(
)
( )
( ( , ( )
( ))
( , ( )))
( )
( , , )
b
b
a
a
f t x
F
F x
h
F x
f t x t
h t
f t x t
dt
h t dt
r t x h dt
x
∂
∆ =
+ −
=
+
−
=
+
∂
∫
∫
b
a
∫

Orttirmaning bosh qismi, F(x) funksionalning variatsiyasi

( , )
( , )
( )
b
a
f t x
U x h
h t dt
x
δ
∂
=
∂
∫

Orttirma ifodasidagi ikkinchi qo‘shiluvchining moduli

f
x
∂
∂
ning uzluksiz
bo‘lganligi sababli, h ga nisbatan yuqori tartibli cheksiz kichik bo‘ladi.

www.ziyouz.com kutubxonasi

---