Учебное пособие для бакалавров педагогических вузов. Настоящее учебное пособие предназначено для студентов-бакалавров

2-§. Differensiallanuvchi funksionalning ekstremumi 

F(x) funksionalning x

0
nuqtada ekstremumga ega bo‘lishining zaruriy
shartini aniqlash maqsadida bu funksionalni
0
( )
(
)
f t
F x
th
=
+
ixtiyoriy tayin h da t
o‘zgaruvchining funksiyasi sifatida qarash qulay bo‘ladi. Ma’lumki, f(t)
funksiyaning t=0 nuqtada ekstremumga ega bo‘lishining zaruriy sharti
'( )
f t
hosila mavjud bo‘lganda
f(0)=0 dan iborat edi. Buni e’tiborga olib, quyidagi
teoremani isbotlaymiz.

1-teorema
. Agar differensiallanuvchi F(x) funksionalning x
0
nuqtada
ekstremumga ega bo‘lsa, u holda uning
0
( , )
F x h
δ
variatsiyasi x
0
nuqtada normasi
yetarlicha kichik bo‘lgan barcha h larda nolga teng bo‘ladi.
Isboti.
Aytaylik F(x) funksionalning x
0
nuqtada differensiallanuvchi va shu
nuqtada ektremumga ega bo‘lsin. Bu
0
( )
(
)
f t
F x
ht
=
+
funksiya t=0 nuqtada
differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda bu funksiyaning ixtiyoriy h da ekstremumga
ega bo‘lishiga teng kuchli. t=0 da
'( )
f t ning mavjud ekanligini isbotlaymiz.

0
0

0
0
0
0
0
0
( )
(0)
(
)
( )
(
)
( , )
( , )
( , )
( , )
(
)
f t
f
F x
th
F x
F x
th
r x th
t
t
t
t F x h
r x th
r x th
F x h
t
t
t
δ
δ
δ
−
+
−
+
+
=
=
=
+
=
+
=
0

bu yerda

0
( , )
( , )
F x th
tF x h
=
chiziqli funksionalning bir jinsli ekanligidan
foydalandik.
intilganda
0
t
→
0
( , )
r x th
t
nolga intiladi, chunki
0
( , )
r x th
o th
=
.
Demak,
va ixtiyoriy h da
0
t
→
0
( , )
0
r x th
th
→ .
Shunday qilib, funksionalning ekstremumga ega bo‘lishining zaruriy sharti
ixtiyoriy h da
0
'(0)
(
)
0
f
F x h
δ
=
=
(h norma jihatdan yetarlicha kichik) bo‘ladi.

Yuqoridagi shart bajariladigan nuqtalar, matematik analizdagi kabi,

statsionar nuqtalar deb ataladi. Bu nuqtalarda ekstremum mavjud bo‘lishi mumkin.
Ammo bu topgan shart faqat zaruriy shart bo‘lganligi sababli, statsionar nuqtalarda
funksional ekstremumga ega bo‘lmasligi mumkin va funksional orttirmasi bunday
statsionar nuqtaning istalgan atrofida turli ishoralarni qabul qiladi.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

www.ziyouz.com kutubxonasi

---