Учебное пособие для бакалавров педагогических вузов. Настоящее учебное пособие предназначено для студентов-бакалавров

5.2. Chiziqli funksional normasi. Qo‘shma fazo. Chiziqli 
funksionallarning sust yaqinlashuvi. 
Aytaylik E normalangan fazo va f undagi chiziqli funksional bo‘lsin.
Quyidagicha aniqlangan

)
(

sup
||
||
1
||
||
x
f
f
x
≤
=

son, ya’ni |f(x)| qiymatlarning birlik shardagi aniq yuqori chegarasi bo‘lgan son f

funksionalning normasi deyiladi.
Masalan, yuqoridagi 1–misoldagi chiziqli funksional uchun ||f||=|
α|, 2 –
misol uchun ||f||=||a||, 3 – misol uchun ||f||=b-a va ||f||=
( )
b
о
a
у t dt
∫
bo‘ladi.
Chiziqli funksionallar uchun qo‘shish va songa ko‘paytirish amallarini
quyidagicha kiritamiz.
Aytaylik E biror chiziqli fazo, f
1
va f
2
undagi ikki chiziqli funksional bo‘lsin.
Ularning f
1
+f
2
yig‘indisi va
α
f
1
songa ko‘paytirish amallari, ixtiyoriy x
∈
E uchun
f

(x)
=

f
1
(x) + f
2
(x) va f

(x)
=

α
f
1
(x)
munosabatlar bilan aniqlanadi.
Bu tengliklarni tushunarli bo‘lishi uchun

(f
1

+f
2
)(x)
=
f
1
(x) + f
2
(x) va
(
α
f
1
)(x)
=

α
f

1
(x)
kabi yozamiz. Demak, f
1
+f
2
va
α
f
1
lar ham chiziqli funksionallardir. Bu amallarga
nisbatan chiziqli funksionallar to‘plami chiziqli fazo hosil qilishi ravshan.
Shuningdek, E normalangan fazodagi f
1
va f
2
funksionallarning
uzluksizligidan f
1
+f
2
va
α
f
1
larning uzluksizligi kelib chiqadi. Kelgusida, barcha
uzluksiz chiziqli funksionallar fazosini E* orqali belgilaymiz va E ga qo‘shma fazo
deyiladi.
Aytaylik E normalangan fazo bo‘lsin.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

4-ta’rif. Agar E dan olingan {x
n
} elementlar ketma-ketligi va ixtiyoriy f
uzluksiz chiziqli funksional uchun {f(x
n
)} sonlar ketma-ketligi f(x
0
) ga yaqinlashsa,
ya’ni f(x
n
)
→
f(x
0
) munosabat bajarilsa, u holda {x
n
} ketma-ketlik x
0
elementga sust
yaqinlashadi deyiladi.
3-teorema.
Agar {x
n
} sust yaqinlashuvchi ketma-ketlik bo‘lsa, u holda
shunday bir C o‘zgarmas son topiladiki, ||x
n
||
≤
C bo‘ladi. Boshqacha aytganda,
normalangan fazodagi sust yaqinlashuvchi ketma-ketlik chegaralangan bo‘ladi.
Misollar. 1)
n
R  fazoda sust yaqinlashish mos koordinatalar yaqinlashishi
bilan ustma – ust tushadi.
2) C[a,b] fazoda sust yaqinlashish.
Aytaylik {x
n
(t)} funksiyalar ketma-ketligi sust yaqinlashishi uchun
a) u tekis chegaralangan, ya’ni barcha n=1,2,. . ., va a
≤
t
≤
b uchun |x
n
(t)|
≤
C
bo‘lishi;
b) har bir nuqtada yaqinlashuvchi bo‘lishi zarur.

www.ziyouz.com kutubxonasi

---