|
1-teorema
. Banax algebrasidagi x elementning normasi birdan kichik,
ya’ni,
1
х
≤
bo‘lsa, u holda e-x element teskari elementga ega va u
(e-x)
-1
= e + x + . . . + x
n
+ . . .
formula bilan topiladi.
Isboti.
Ushbu s
n
=e + x + . . . + x
n
+ . . . ko‘rinishdagi elementlarni
olamiz. Ravshanki,
1
1
2
1
k
n
n
n
n k
n
n k
i
s
s
x
x
x
x
+
+
+
+
+
=
−
=
+
+ ⋅⋅⋅ +
≤
∑
=
=
1
1
1
0
1
1
n
n k
n
x
x
x
x
x
+
+ +
+
−
≤
→
−
−
, n
.
→ ∞
Demak, {s
n
} ketma-ketlik X fazoda fundamental. Banax algebrasi X to‘la
bo‘lganligi sababli bu ketma-ketlik biror s
∈
X elementga yaqinlashadi, va
s(e-x) = li s
m
n
→∞
n
(e-x) =
.
1
lim(
)
n
n
e x
e
+
→∞
−
=
Xuddi shuningdek, (
)
.
e x s e
−
=
Natija
. Agar
bo‘lsa, u holda
0
→
x
1
(
)
e x
e
−
−
→
bo‘ladi.
Haqiqatan,
1
1
1
(
)
k
k
k
k
e x
e
s e
x
x
∞
∞
−
=
=
−
− = − =
≤
∑
∑
=
0
1
x
x
→
−
munosabatlardan kerakli natija kelib chiqadi.
2-teorema.
X Banax algebrasidagi biror
0
х
element uchun
1
0
х
−
mavjud
bo‘lsa, u holda
1
1
0
h
x
−
−
≤
tengsizlikni qanoatlantiruvchi h element uchun
1
0
x
x
=
+ h
1
1
0
elementning teskarisi mavjud va u
1
1
1
0
(
)
x
e x h
x
−
−
−
−
= +
ga teng.
Bu teoremadan bir nechta natijalar kelib chiqadi.
www.ziyouz.com kutubxonasi
1-natija
. Banax algebrasining teskarilanuvchi elementlari to‘plami ochiq
to‘plam bo‘ladi.
2-natija.
Element x ning R
λ
x = x(
λ
) rezolventasi
C
\
σ
(x) to‘plamda
uzluksiz funksiyadir.
3-teorema.
X Banax algebrasidagi ixtiyoriy x elementning spektri bo‘sh
bo‘lmagan kompakt to‘plam va r(x)
≤
||x|| munosabat o‘rinli.
Isboti_._Faraz_qilaylik_σ_(x)_bo‘sh_to‘plam_bo‘lsin._U_holda_X*_ning_ixtiyoriy_f_elementi_uchun_F(_λ)_=_f(x(λ))_funksiya_C'>Isboti
. Faraz qilaylik
σ
(x) bo‘sh to‘plam bo‘lsin. U holda X* ning ixtiyoriy
f elementi uchun F(
λ) = f(x(λ)) funksiya
C
\
σ
(x)= to‘plamda analitik va
C
lim
λ
→∞
F(
λ) = 0 bo‘ladi.
Liuvill teoremasiga asosan u aynan nolga teng funksiya bo‘lib qoladi. Endi f
chiziqli funksional bo‘lgani sababli Xan–Banax teoremasiga ko‘ra x(
λ) rezolventa
ham aynan nol bo‘lib qoladi. Bu esa (
λ
e-x)x(
λ
)=e tenglikka zid. Demak,
σ
(x)
bo‘sh to‘plam emas.
4-teorema.
Agar Banax algebrasida ixtiyoriy noldan farqli element
teskarilanuvchi bo‘lsa, u holda bu algebra –kompleks sonlar maydoniga
izometrik izomorf bo‘ladi.
C
Isboti.
Ixtiyoriy x elementni olaylik. 3–teoremaga asosan
σ
(x) spektr bo‘sh
emas, ya’ni shunday
λ son topiladiki,
λ
e–x element uchun teskari element mavjud
emas. Shartga ko‘ra
λ
e – x=0, ya’ni, x=
λ
e. Agar x elementga xuddi shu
λ sonni
mos qo‘ysak, x
λ
moslik izomorfizm bo‘ladi. Endi, ||e||=1 bo‘lgani uchun
||x||=||
λe||=|λ|, ya’ni, x λ izometrik izomorfizmdir.
→
→
Natija. Ixtiyoriy T chegaralangan chiziqli operatorning spektri bo‘sh emas.
5-teorema
(spektral radius haqidagi teorema). Banax algebrasida ixtiyoriy
x elementning speatral radiusi uchun quyidagi formula o‘rinli:
r(x) =
lim
n
n
n
x
→∞
.
Isboti
. X fazodagi ixtiyoriy f uzluksiz chiziqli funksional uchun
F(
λ)=f(x(λ)) funksiya
C
\
σ
(x) sohada, xususan {
λ: |λ| > r(x)} sohada analitik
bo‘ladi. Demak, 1-teoremaga asosan |
λ| > ||x|| bo‘lganda
www.ziyouz.com kutubxonasi
x(
λ
) = (
λ
e - x) =
1
−
(
)
1
1
0
1
n
n
n
x
x
e
λ
λ
λ
∞
−
+
=
−
=
∑
bo‘ladi. Bundan F(
λ) = f(x(λ)) =
1
0
(
)
n
n
n
f x
λ
∞
+
=
∑
kelib chiqadi.
Analitik funksiyalarning yagonalik xossasiga asosan, bu yoyilma ixtiyoriy
|
λ| > r(x) uchun ham o‘rinli, demak,
1
lim | (
) | 0
n
n
n
x
f
λ
+
→∞
= , ya’ni
1
n
n
x
λ
+
⎧
⎫
⎨
⎬
⎩
⎭
ketma – ketlik nolga sust yaqinlashadi, demak, u norma bo‘yicha chegaralangan,
ya’ni,
1
( )
n
n
x
C
λ
λ
+
≤
, bu yerda C(
λ) – musbat son. Bundan
1
1
lim
lim
( ) |
| lim |
| ( ) |
|
n
n
n
n
n
n
n
n
x
C
C
λ
λ
λ
λ
λ
λ
+
→∞
→∞
→∞
≤
=
=
.
Bu tengsizlik ixtiyoriy
λ (|λ|>r(x)) uchun o‘rinli bo‘lgani sababli
1
______
lim
( )
n n
n
x
r x
→∞
≤
bo‘ladi. Agar
( )
х
λ σ
∈
bo‘lsa, u holda
(
)
n
n
x
λ
σ
∈
bo‘ladi.
Haqiqatan, agar
(
)
1
n
n
e x
λ
−
−
mavjud bo‘lganda edi, u holda
(
)
1
e x
λ
−
−
=
(
) (
)
1
1
2
n
n
n
n
n
e x
e
x
x
λ
λ
λ
−
−
−
−
+
+ ⋅⋅⋅ +
1
−
bo‘lar edi, bu esa
( )
х
λ σ
∈
munosabatga zid. Ixtiyoriy
( )
х
µ σ
∈
uchun 3-
teoremaga asosan
х
µ
≤
.
Endi
n
µ λ
=
deb olsak,
( )
х
λ σ
∈
munosabatdan
(
)
n
n
х
λ
σ
∈
, ya’ni,
n
n
x
λ
≤
kelib chiqadi. Demak, |
λ
|
n
n
x
≤
. Bundan n ixtiyoriy bo‘lganligi sababli
r(x) = sup|
λ
| lim
n
n
n
x
→∞
≤
.
Bu tengsizlikni yuqoridagi tengsizlik bilan solishtirsak, qaralayotgan limitning
mavjudligi va bizga kerakli natija kelib chiqadi.
www.ziyouz.com kutubxonasi
4-§. Gilbert fazosida aniqlangan operatorlar
Endi Gilbert fazosida aniqlangan operatorlarning maxsus sinflarini
o‘rganamiz.
2-ta’rif. Berilgan H Gilbert fazosida aniqlangan P chiziqli operator P
2
=P va
P*=P shartlarni qanoatlantirsa, u ortogonal proeksiyalash operatori deyiladi.
Qulaylik uchun ortogonal proeksiyalash operatori o‘rniga qisqacha proektor
so‘zi ishlatiladi.
6-teorema. Ixtiyoriy proektor chegaralangan operatordir va P
≠θ
bo‘lsa, u
holda ||P||=1 bo‘ladi.
Isboti. Ushbu ||P||
2
=(Px, Px)=(P*Px, x)=(P
2
x, x)=(Px, x) munosabatdan,
Koshi–Bunyakovskiy tengsizligiga ko‘ra ||Px||
2
≤||Px||⋅||x||. Demak, ||Px||≤||x||, ya’ni,
P chegaralangan va ||P||
≤1. Ikkinchi tomondan, ||P||=||P
2
||
≤||P||
2
, ya’ni P
≠0 bo‘lsa
||P||
≥1. Shunday qilib, ||P||=1.
3-ta’rif. Berilgan H Gilbert fazosida biror L qism to‘plam olamiz.
L
⊥
={y :
∀x∈L uchun (x,y)=0}
to‘plam L ning ortogonal to‘ldiruvchisi deyiladi.
Aytaylik L to‘plam H ning yopiq qismi fazosi, L esa uning ortogonal
to‘ldiruvchisi bo‘lsin. U holda H=L
⊥
⊕
L bo‘ladi. Demak, ixtiyoriy x
∈
H elementni
yagona usul bilan x = y + z, y
∈L , z∈L ko‘rinishda yozish mumkin.
⊥
⊥
P operatorni Px = y tenglik orqali aniqlaymiz, ya’ni, P operator har bir x ga
uning L dagi proeksiyasini mos qo‘yadi.
Kiritilgan operatorning proektor ekanligini ko‘rsatamiz.
a) P chiziqli operator. Haqiqatan, aytaylik x', x''
∈H va x'=y'+z', y'∈L,
z'
∈L , x''=y''+z'', y''∈L, z''∈L bo‘lsin. U holda ixtiyoriy α, β∈ uchun
⊥
⊥
C
αx' +βx'' = (αy' +
β
y'') + (
αz' +
β
z'')
bo‘ladi, bu yerda
αy' +
β
y''
∈L, αz'+
β
z''
∈
L . Agar yuqoridagi yoyilmada y va z
yagona usul bilan aniqlanishini hisobga olsak, u holda
⊥
P(
α
x' +
β
x'') =
α
y'+
β
y'' =
αPx' +βPx''
bo‘ladi, ya’ni, P– chiziqli operator ekan.
www.ziyouz.com kutubxonasi
b) Endi P* = P bo‘lishini tekshiramiz. Yuqoridagi tengliklarda y' va z''
hamda y'' va z' lar o‘zaro ortogonal bo‘lgani uchun
( Px',x'') = ( y',y''+z'') = (y ',y'') = ( y'+ z',y'') = ( x', Px'')
bo‘ladi. Shunday qilib, ixtiyoriy x', x''
∈ H uchun ( Px',x'')=( x', Px''), ya’ni, P=P*.
c) Endi, P
2
= P bo‘lishini tekshiramiz. Agar x
∈ L bo‘lsa, ortogonal yoyilmada
z = 0. Shuning uchun Px=x. Ixtiyoriy x'
∈ H uchun Px'∈ L. Demak, P
2
x'= P( Px') =
Px', ya’ni P
2
= P. Demak, P – proektor.
7-teorema. Har qanday P proektor uchun H ning shunday yopiq L qism
fazosi mavjudki, Px element x elementning L dagi proeksiyasiga teng.
Isboti. Px=x tenglamaning yechimlaridan iborat bo‘lgan to‘plamni L orqali
belgilaylik. P chiziqli operator bo‘lgani uchun, L chiziqli qism fazoni tashkil
qiladi. L ning yopiq ekanligini ko‘rsatamiz. Faraz qilaylik, { x
n
}
⊂
L va x
n
→
x
0
bo‘lsin. U holda Px
n
= x
n
, n=1, 2,... bo‘ladi. Demak,
Px
0
- x
n
= Px
0
- Px
n
= P(x
0
-x
n
).
Agar || P||
≤1 munosabatini hisobga olsak, || Px
0
-x
n
||
≤|| x
0
- x
n
|| bo‘ladi. Ya’ni
n
→∞ da || Px
0
-x
0
||=0, Px
0
=x
0
ni hosil qilamiz. Demak, L-yopiq qism fazo ekan.
Endi, P
2
= P shartga ko‘ra H ning ixtiyoriy x elementi uchun P
2
x= P( Px)= Px
tenglik o‘rinli. Bundan Px elementning L ga tegishliligi kelib chiqadi.
Teoremaning isbotini yakunlash uchun z=x–Px elementning L ga ortogonal
ekanini ko‘rsatish yetarli. Haqiqatan, L ning ixtiyoriy y elementi uchun y = Py
bo‘ladi. Demak,
( x – Px, y) = ( x – Px, Py) = ( P*( I – P) x, y) =
=( P( I –P) x, y) = (( P – P
2
) x, y) = (0, y) = 0.
Shunday qilib, H ning ixtiyoriy x elementi uchun R x element L ga tegishli va x– Px
element L ning ortogonal to‘ldiruvchisiga tegishli, ya’ni P operator L ga ortogonal
proeksiyalash operatori ekan.
Endi proektorlar ustida amallarni ko‘ramiz. Umuman aytganda, proektorlar
yig‘indisi, ayirmasi va ko‘paytmasi proektor bo‘lishi shart emas.
Do'stlaringiz bilan baham: |
