Учебное пособие для бакалавров педагогических вузов. Настоящее учебное пособие предназначено для студентов-бакалавров

2-teorema. Agar X yarim sodda Banax algebrasi bo‘lsa, u holda X dagi har
qanday involyutsiya uzluksizdir.
Endi involyutiv va Banax algebralari ichida eng muhimlaridan biri S* -
algebralarga to‘htalamiz.
2-ta’rif. Agar X involyutiv Banax algebrasida ixtiyoriy x element uchun
||xx*||=||x||
2
tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda X algebra C* - algebra deyiladi.
C* - algebrada ||x*||=||x|| bo‘ladi.
Haqiqatan, ||x||
2
=||xx*||
≤||x||⋅||x*|| tengsizlikdan ravshanki, ||x||≤||x*|| kelib chiqadi.
Shu bilan birga ||x*||
≤||x**||=||x|| bo‘ladi. Demak, ||x*||=||x||.
3-ta’rif. Agar haqiqiy X Banax algebrasida
i)
ab = ba;
ii)
a
2
(ba) = (a
2
b)a;
iii)
||a
2
|| = ||a||
2
;
iv)
||a
2
||
≤
|| a
2
+ b
2
||
shartlar bajarilsa, u holda X Yordan banax algebrasi yoki qisqacha JB – algebra
deyiladi.

www.ziyouz.com kutubxonasi

---

3-§. Spektr va rezolventa 
Aytaylik X Banax algebrasi bo‘lsin.
1-ta’rif. Agar biror х Х
∈ uchun
1
1
хх
х х
−
−
=
= е tenglikni
qanoatlantiruvchi
1
х
−
element mavjud bo‘lsa,
1
х
−
element x ga teskari element,
x esa teskarilanuvchi element deyiladi.
Agar
λ kompleks son uchun е х
λ
− element teskari elementga ega bo‘lsa,
λ
son x element uchun regulyar nuqta deyiladi.
Regulyar bo‘lmagan nuqtalar to‘plami x elementning spektri deyiladi va
( )
х
σ
bilan belgilanadi. Demak,
( )
х
σ
shunday
λ sonlar to‘plamiki, е х
λ
− element
teskari elementga ega emas.
Regulyar nuqtalarda
1
( )
(
)
R x x
e x
λ
λ
λ
−
=
=
−
tenglik bilan aniqlangan
:
\ ( )
R
x
λ
X
σ
→
C
akslantirish x elementning rezolventasi deyiladi.
Biror x elementning spektral radiusi deb
( )
( )
sup
x
r x
λ σ
λ
∈
=
songa aytiladi.
Misollar. 1) X=
C

– kompleks sonlar Banax algebrasida noldan farqli har

bir element teskarisiga ega. Demak, har bir
α kompleks son uchun
{ }
( )
σ α
α
=

bo‘ladi.

2) X=C(K) Banax algebrasida (1-§ dagi 3-misol )
х Х
∈ element teskari
elementga ega bo‘lishi uchun x(t) funksiya hamma yerda noldan farqli
bo‘lishi zarur va yetarlidir.
Bu esa, ( )
х
σ
to‘plam x(t) funksiyaning qiymatlari to‘plami bilan ustma-ust
tushishini bildiradi. Demak, x(t) funksiya uchun rezolventa va spektral radius
quyidagicha bo‘ladi.

1
( )

R x
x t
λ
λ
=
−
, r(x) =
max | ( ) |
t K
x
x t
∈
=
.
3) X=L(E) operatorlar Banax algebrasida spektr, rezolventa va boshqa
tushunchalar operatorlar uchun kiritilgan mos tushunchalar bilan ustma-ust tushadi.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Aniqroq aytadigan bo‘lsak, Banax algebralari uchun kiritilgan
tushunchalar operatorlar algebralaridagi mos tushunchalarini abstrakt holda
umumlashtirilishidir.
Bu izoh quyida keltiriladigan teoremalarga ham taaluqli.