|
Vektorlar orasidagi burchakni qanday hisoblash mumkin
Chiziq va tekislik orasidagi burchak
Chiziqli vektor fazodagi vektorlar orasidagi burchak vektorlarning koordinatsiyasiga erishiladigan minimal burchakdir. Vektorlardan biri boshlang'ich nuqtasi atrofida olib boriladi. Ta'rifdan ma'lum bo'ladiki, burchakning qiymati 180 darajadan oshmasligi kerak .
Bunday holda, chiziqli fazoda vektorlar parallel ravishda uzatilganda, ular orasidagi burchak o'zgarmaydi, deb juda to'g'ri taxmin qilinadi. Shuning uchun burchakni analitik hisoblash uchun vektorlarning fazoviy yo'nalishi muhim emas.
Vektor - berilgan yo'nalishga ega bo'lgan chiziq segmenti. Vektorlar orasidagi burchakka ega jismoniy ma'no, masalan, vektorning o'qga proyeksiyasining uzunligini topishda.
Nuqta kattalikni hisoblash yordamida nolga teng bo'lmagan ikkita vektor orasidagi burchak. Ta'rifga ko'ra, vektor uzunliklarning vektoriga va ular orasidagi burchakka tengdir. Boshqa tomondan, koordinatali (x1; y1) va b koordinatali (x2; y2) ikkita vektorning ichki mahsuloti hisoblanadi: ab = x1x2 + y1y2. Ushbu ikkita usuldan nuqta mahsuloti vektorlar orasidagi burchakka oson.
Vektorlarning uzunliklari yoki modullarini toping. a va b vektorlarimiz uchun:
|a| = (x1² + y1²)^1/2, |b| = (x2² + y2²)^1/2.
Vektorlarning ichki i ularning juftlarga ko'paytirish orqali toping:
ab = x1x2 + y1y2.
Nuqta hosilasining ta'rifidan ab = |a|*|b|*cos a, bu erda a - vektorlar orasidagi burchak.
Keyin biz x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos a ni olamiz.
U holda cos a = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2.
Bradys jadvallari yordamida a burchakni toping.
Eslatma
Skayar ko'paytma vektorlar uzunligi va ular orasidagi burchakning skalyar xarakteristikasidir.
Tekislik geometriyadagi asosiy tushunchalardan biridir. Tekislik - bu bayonot to'g'ri bo'lgan sirt - uning ikkita nuqtasini bog'laydigan har qanday to'g'ri chiziq butunlay shu sirtga tegishli. Samolyotlar belgilangan Yunon harflari a, b, g va boshqalar. Ikki tekislik har doim ikkala tekislikka tegishli to'g'ri chiziqda kesishadi.
Ko'rsatma
ning kesishmasida hosil bo'lgan a va b yarim tekisliklarni ko'rib chiqaylik. a to'g'ri chiziq va ikki yarim tekislik a va b dihedral burchak bilan hosil qilingan burchak. Bunda yuzlar bo'yicha ikki burchakli burchak hosil qiluvchi yarim tekisliklar, tekisliklar kesishgan a chizig'i chekka deyiladi. ikki burchakli burchak.
Dihedral burchak, tekis burchak kabi, darajalarda. Ikki burchakli burchak yasash uchun uning yuziga ixtiyoriy O nuqtani tanlash kerak.Ikkalasida ham O nuqta orqali ikkita a nur o'tkaziladi. Olingan burchak AOB dihedral burchakning chiziqli burchagi a deyiladi.
Demak, vektor V = (a, b, c) va tekislik A x + B y + C z = 0 berilsin, bu erda A, B va C normal N ning koordinatalari. Keyin burchakning kosinuslari. V va N vektorlari orasidagi a: cos a \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).
Burchakni daraja yoki radianda hisoblash uchun natijada olingan ifodadan kosinusga teskari funktsiyani hisoblashingiz kerak, ya'ni. arkkosin: a \u003d arskos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).
Misol: toping in'ektsiya orasida vektor(5, -3, 8) va samolyot, umumiy tenglama bilan berilgan 2 x - 5 y + 3 z = 0. Yechish: N = (2, -5, 3) tekislikning normal vektorining koordinatalarini yozing. Hamma narsani almashtiring ma'lum qiymatlar yuqoridagi formulada: cos a = (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0,8 → a = 36,87°.
Tenglama yozing va undan kosinusni ajratib oling. Bir formulaga ko'ra, vektorlarning skalyar ko'paytmasi ularning uzunliklarini bir-biriga va kosinusga ko'paytirishga teng. burchak, va boshqa tomondan - har bir o'q bo'ylab koordinatalar mahsuloti yig'indisi. Ikkala formulani tenglashtirib, kosinus degan xulosaga kelishimiz mumkin burchak koordinatalar ko'paytmalari yig'indisining vektorlar uzunliklari ko'paytmasiga nisbatiga teng bo'lishi kerak.
Olingan tenglamani yozing. Buning uchun ikkala vektorni belgilashimiz kerak. Aytaylik, ular 3D Dekart tizimida berilgan va ularning boshlang'ich nuqtalari to'rda. Birinchi vektorning yo'nalishi va kattaligi nuqta (X₁,Y₁,Z₁), ikkinchisi - (X₂,Y₂,Z₂) bilan, burchak esa g harfi bilan belgilanadi. Keyin har bir vektorning uzunligi, masalan, Pifagor teoremasiga ko'ra, ularning har bir koordinata o'qiga proyeksiyalari orqali hosil bo'lishi mumkin: √(X₁² + Y₁² + Z₁²) va √(X₂² + Y₂² + Z₂²). Ushbu iboralarni oldingi bosqichda tuzilgan formulaga almashtiring va tenglikni oling: cos(g) = (X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * √(X₂² + Y₂² + Z₂² )).
Kvadratning yig'indisi ekanligidan foydalaning sinus va boshqalar sinus dan burchak bitta qiymat har doim bitta qiymatni beradi. Demak, co uchun oldingi bosqichda olingan narsalarni ko'tarish orqali sinus kvadrat va birlikdan ayiriladi, keyin esa
Geometriyani o'rganishda vektorlar mavzusida ko'plab savollar tug'iladi. Talaba vektorlar orasidagi burchaklarni topish zarur bo'lganda alohida qiyinchiliklarga duch keladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
