Tt va kt” fakulteti 1-bosqich ki-11-21 (s) guruh talabasining

Asosiy shartlar
Vektorlar orasidagi burchaklarni ko'rib chiqishdan oldin vektorning ta'rifi va vektorlar orasidagi burchak tushunchasi bilan tanishish kerak.
Vektor - yo'nalishi bo'lgan segment, ya'ni uning boshlanishi va oxiri aniqlangan segment.
Bir tekislikdagi ikkita vektor orasidagi burchak umumiy nuqta atrofida vektorlardan birini ularning yo'nalishlari mos keladigan joyga ko'chirishni talab qiladigan burchaklarning kichikroq qismidir.

Yechim formulasi
Vektor nima ekanligini va uning burchagi qanday aniqlanishini tushunganingizdan so'ng, vektorlar orasidagi burchakni hisoblashingiz mumkin. Buning uchun yechim formulasi juda oddiy va uni qo'llash natijasi burchak kosinusining qiymati bo'ladi. Ta'rifga ko'ra, u vektorlarning skalyar ko'paytmasi va ularning uzunliklari ko'paytmasining qismiga teng.
Vektorlarning skalyar ko'paytmasi ko'paytiruvchi vektorlarning tegishli koordinatalarining bir-biriga ko'paytirilgan yig'indisi sifatida qabul qilinadi. Vektorning uzunligi yoki uning moduli uning koordinatalari kvadratlari yig'indisining kvadrat ildizi sifatida hisoblanadi.

Burchakning kosinus qiymatini olgandan so'ng, siz burchakning o'zi qiymatini kalkulyator yordamida yoki yordamida hisoblashingiz mumkin. trigonometrik jadval.

n o'lchovli fazoda burchakni hisoblash
Uch o'lchovli fazoda ikkita vektorni ko'rib chiqayotganda, agar ular bir tekislikda yotmasa, qaysi burchak haqida gapirayotganimizni tushunish ancha qiyin. Idrokni soddalashtirish uchun siz ular orasidagi eng kichik burchakni tashkil etuvchi ikkita kesishgan segmentni chizishingiz mumkin va u kerakli bo'ladi. Vektorda uchinchi koordinata mavjudligiga , vektorlar orasidagi burchaklarni hisoblash jarayoni o'zgarmaydi. Vektorlarning skalyar ko'paytmasi va modullarini, ularning bo'linmasining arkkosinini hisoblang va bu masalaga javob bo'ladi.
Geometriyada muammolar ko'pincha uch o'lchamdan ortiq bo'lgan bo'shliqlar bilan yuzaga keladi. Ammo ular uchun javobni topish algoritmi o'xshash ko'rinadi.
0 va 180 daraja orasidagi farq
Vektorlar orasidagi burchakni hisoblash uchun mo'ljallangan masalaga javob yozishda keng tarqalgan xatolardan biri bu vektorlar parallel ekanligini yozish qarori, ya'ni kerakli burchak 0 yoki 180 daraja bo'lib chiqdi. Bu javob noto'g'ri.
Yechim natijasida 0 graduslik burchak qiymatini olgan holda, to'g'ri javob vektorlarni ko'proq yo'nalishli deb belgilash bo'ladi, ya'ni vektorlar bir xil yo'nalishga ega bo'ladi. 180 gradusni olishda vektorlar qarama-qarshi yo'nalishda bo'ladi.
Maxsus vektorlar
Vektorlar orasidagi burchaklarni topib, yuqorida tavsiflangan birgalikda yo'naltirilgan va qarama-qarshi yo'naltirilganlardan tashqari, maxsus turlardan birini topish mumkin.
Bir tekislikka parallel bo'lgan bir nechta vektorlar koplanar deyiladi.
Uzunligi va yo'nalishi bir xil bo'lgan vektorlar teng deyiladi.
Yo‘nalishidan qat’iy nazar bir to‘g‘ri chiziqda yotuvchi vektorlar kollinear deyiladi.
Agar vektorning uzunligi nolga teng bo'lsa, ya'ni uning boshi va oxiri bir-biriga to'g'ri kelsa, u nol, bitta bo'lsa, bitta deyiladi.
Ikki vektor orasidagi burchak, :
Ikki vektor orasidagi burchak o'tkir bo'lsa, ularning nuqta mahsuloti musbat; agar vektorlar orasidagi burchak toʻq boʻlsa, bu vektorlarning skalyar koʻpaytmasi manfiy boʻladi. Ikki nolga teng bo'lmagan vektorlarning skalyar ko'paytmasi, agar bu vektorlar ortogonal bo'lsa, nolga teng.
Vektorlar orasidagi burchaklarni qanday hisoblash mumkin?
Geometriyani o'rganishda vektorlar mavzusida ko'plab savollar tug'iladi. Talaba vektorlar orasidagi burchaklarni topish zarur bo'lganda alohida qiyinchiliklarga duch keladi.

Asosiy shartlar

Vektorlar orasidagi burchaklarni ko'rib chiqishdan oldin vektorning ta'rifi va vektorlar orasidagi burchak tushunchasi bilan tanishish kerak.

Vektor - yo'nalishi bo'lgan segment, ya'ni uning boshlanishi va oxiri aniqlangan segment.

Bir tekislikdagi ikkita vektor orasidagi burchak umumiy nuqta atrofida vektorlardan birini ularning yo'nalishlari mos keladigan joyga ko'chirishni talab qiladigan burchaklarning kichikroq qismidir.

Yechim formulasi

Vektor nima ekanligini va uning burchagi qanday aniqlanishini tushunganingizdan so'ng, vektorlar orasidagi burchakni hisoblashingiz mumkin. Buning uchun yechim formulasi juda oddiy va uni qo'llash natijasi burchak kosinusining qiymati bo'ladi. Ta'rifga ko'ra, u vektorlarning skalyar ko'paytmasi va ularning uzunliklari ko'paytmasining qismiga teng.

Vektorlarning skalyar ko'paytmasi ko'paytiruvchi vektorlarning tegishli koordinatalarining bir-biriga ko'paytirilgan yig'indisi sifatida qabul qilinadi. Vektorning uzunligi yoki uning moduli uning koordinatalari kvadratlari yig'indisining kvadrat ildizi sifatida hisoblanadi.

Burchakning kosinus qiymatini olgandan so'ng, siz kalkulyator yoki trigonometrik jadval yordamida burchakning qiymatini hisoblashingiz mumkin.

Misol
Vektorlar orasidagi burchakni qanday hisoblashni aniqlaganingizdan so'ng, tegishli muammoni hal qilish oddiy va tushunarli bo'ladi. Misol tariqasida burchak kattaligini topishning oddiy masalasini ko'rib chiqing.

Avvalo, echish uchun zarur bo'lgan vektorlar uzunligi va ularning skalyar mahsulotini hisoblash qulayroq bo'ladi. Yuqoridagi tavsifdan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

Olingan qiymatlarni formulaga almashtirib, kerakli burchakning kosinus qiymatini hisoblaymiz:

Bu raqam beshta umumiy kosinus qiymatlaridan biri emas, shuning uchun burchak qiymatini olish uchun siz kalkulyator yoki Bradis trigonometrik jadvalidan foydalanishingiz kerak bo'ladi. Ammo vektorlar orasidagi burchakni olishdan oldin, ortiqcha salbiy belgidan xalos bo'lish uchun formulani soddalashtirish mumkin:

Yakuniy javob aniqlikni saqlab qolish uchun ushbu shaklda qoldirilishi mumkin yoki burchakning qiymatini darajalarda hisoblashingiz mumkin. Bradis jadvaliga ko'ra, uning qiymati taxminan 116 daraja va 70 daqiqa bo'ladi va kalkulyator 116,57 daraja qiymatini ko'rsatadi.

n o'lchovli fazoda burchakni hisoblash
Uch o'lchovli fazoda ikkita vektorni ko'rib chiqayotganda, agar ular bir tekislikda yotmasa, qaysi burchak haqida gapirayotganimizni tushunish ancha qiyin. Idrokni soddalashtirish uchun siz ular orasidagi eng kichik burchakni tashkil etuvchi ikkita kesishgan segmentni chizishingiz mumkin va u kerakli bo'ladi. Vektorda uchinchi koordinata mavjudligiga qaramay, vektorlar orasidagi burchaklarni hisoblash jarayoni o'zgarmaydi. Vektorlarning skalyar ko'paytmasi va modullarini, ularning bo'linmasining arkkosinini hisoblang va bu masalaga javob bo'ladi.

Geometriyada muammolar ko'pincha uch o'lchamdan ortiq bo'lgan bo'shliqlar bilan yuzaga keladi. Ammo ular uchun javobni topish algoritmi o'xshash ko'rinadi.

0 va 180 daraja orasidagi farq
Vektorlar orasidagi burchakni hisoblash uchun mo'ljallangan masalaga javob yozishda keng tarqalgan xatolardan biri bu vektorlar parallel ekanligini yozish qarori, ya'ni kerakli burchak 0 yoki 180 daraja bo'lib chiqdi. Bu javob noto'g'ri.

Yechim natijasida 0 graduslik burchak qiymatini olgan holda, to'g'ri javob vektorlarni ko'proq yo'nalishli deb belgilash bo'ladi, ya'ni vektorlar bir xil yo'nalishga ega bo'ladi. 180 gradusni olishda vektorlar qarama-qarshi yo'nalishda bo'ladi.

Maxsus vektorlar
Vektorlar orasidagi burchaklarni topib, yuqorida tavsiflangan birgalikda yo'naltirilgan va qarama-qarshi yo'naltirilganlardan tashqari, maxsus turlardan birini topish mumkin.
Bir tekislikka parallel bo'lgan bir nechta vektorlar koplanar deyiladi.
Uzunligi va yo'nalishi bir xil bo'lgan vektorlar teng deyiladi.
Yo‘nalishidan qat’iy nazar bir to‘g‘ri chiziqda yotuvchi vektorlar kollinear deyiladi.
Agar vektorning uzunligi nolga teng bo'lsa, ya'ni uning boshi va oxiri bir-biriga to'g'ri kelsa, u nol, bitta bo'lsa, bitta deyiladi.
Vektorlar orasidagi burchakni qanday topish mumkin?
vektor a (8; 10; 4) vektor b (5; -20; -10)
Ularning koordinatalari bilan berilgan vektorlar orasidagi burchak standart algoritmga muvofiq topiladi. Avval a va b vektorlarning skalyar ko'paytmasini topishingiz kerak: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Bu erda biz ushbu vektorlarning koordinatalarini almashtiramiz va quyidagilarni hisobga olamiz:
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
Keyinchalik, vektorlarning har birining uzunligini aniqlaymiz. Vektorning uzunligi yoki moduli uning koordinatalari kvadratlari yig'indisining kvadrat ildizidir:
|a| = ildiz (x1^2 + y1^2 + z1^2) = ildiz (8^2 + 10^2 + 4^2) = ildiz (64 + 100 + 16) = 180 ning ildizi = 6 ta ildiz besh
|b| = kvadrat ildiz (x2^2 + y2^2 + z2^2) = kvadrat ildiz (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = kvadrat ildiz (25 + 400 + 100) ) = 525 tadan kvadrat ildiz = 21 tadan 5 ta ildiz.
Biz bu uzunliklarni ko'paytiramiz. Biz 105 tadan 30 ta ildiz olamiz.
Va nihoyat, vektorlarning skalyar mahsulotini ushbu vektorlarning uzunliklari ko'paytmasiga ajratamiz. Biz -200 / (105 dan 30 ta ildiz) yoki olamiz
- (105 ning 4 ta ildizi) / 63. Bu vektorlar orasidagi burchakning kosinusu. Va burchakning o'zi bu raqamning yoy kosinusiga teng
f \u003d arccos (105 ning -4 ta ildizi) / 63.