Toshloq tumani

Sana:_____________ 
55-mashg‘ulot 
Dars mavzusi
.     
 
Funksiya orttirmasi. Hosila, uning geometrik va fizik ma'nosi
.
 
Dars maqsadlari
:   o‗quvchilarga funksiya orttirmasi, hosila, uning geometrik va fizik 
ma'nosini o‗rgatish,  ularning fanga qiziqishlarini oshirish. 
                                     
                
Darsning  borishi
: 
      
1. Tashkiliy qism. 
      2. 
Funksiya orttirmasi. Hosila, uning geometrik va fizik ma'nosi
. 
Ta’rif:
    y  =
  f(x)  funksiya  x  va  x
1
  nuqtalarda  aniqlangan  bo'lsin.  x
1
  —x  ayirma 
argumentning  x
1
  nuqtadagi  orttirmasi,  f(x
1
)-f  (x)  ayirma  esa  funksiyaning 
x
1
 
nuqtadagi  orttirmasi  deyiladi.  Argument  orttirmasi 

x,  funksiya  orttirmasi 

f  yoki 

y ko'rinishda belgilanadi.  
Demak, 

x = x
1
 - 
x,
 bundan x
1
 = 
x +
 

x; 

f = f(x
1
)-f (x) 
= f(x +
 

x) - f(x). 
1-misol. 
y  =  x3
  funksiyaning  argument  qiymati 
x 
dan 
x  +
 

x  ga  o'tgandagi 
orttirmasini toping. 
Yechish: f(x) 
= x3
 ;  
f(x +
 

x) 
=
 
(x +
 

x)3. Demak, 

f = 
f(x +
 

x)-f(x) =
(x +
 

x)3-
x3=  =x3  +  3x
2

x  +  3  •  x  •  (

x)2  +  (

x)3  -  x3  =  3x
2

x  +  3  •  x  •  (

x)2  +  (

x)3. 
Shunday  qilib, 

f  =  (3x2  +
  3x

x
  +  (

x
)2)
 

x
. 
Bu  formuladan  foydalanib  x  va 

x 
ning  ixtiyoriy  berilgan  qiymatlari  uchun  f  ning  qiymatini  hisoblash  mumkin. 
Masalan, x= 2, 

x = 0,1 bo'lganda 

f = f(2,1) - f(2)= =(3 • 22 + 3 • 2 • 0,1 + 0,12) 
0,1 = 1,261. 
2-misol. 
y  =  kx+  b
  chiziqli  funksiya  uchun 
k  =
x
y


         
tenglik  o'rinii  bo'lishini 
isbotlang. 
Isb o t.    f(x) = k
x
 + 
b, f(x+
 

x) = 
k(x +
 

x) + 
b;
 
              

f = /(x + 

x) - f(x) = 
k{x +
 

x) + 
b - {kx + b)
 = 
k

x
. 
 
Bundan 
k  =
x
y


 
ekani  kelib  chiqadi.  Isbotlangan  tenglikning  geometrik  ma'nosi 
chizmada keltirilgan. 
             y  =  f(x)
  funksiya 
x
  nuqta  va  uning  biror  atrofida  aniqlangan  bo'Isin 
(nuqtaning  atrofi  deb  shu  nuqtani  o'z  ichiga  oluvchi  yetariicha  kichik  radiusli 
oraliqqa  aytiladi). 

x  —  argumentning  shunday  orttinnasiki,  x+

x  nuqta  x 

---

Toshloq tumani 
nuqtaning  atrofiga  tegishli  bo'ladi; 

f  esa  funksiyaning  shu  orttirmaga  mos 
orttirmasi, ya'ni 

f
 = f(x +
 

x)-f(x) bo'lsin. 
Ta’rif:
  Agar  funksiya 

f  orttirmasining  argumentning 

x  orttirmasiga  bo'lgan 
nisbatining  argument  orttirmasi  nolga  intilgandagi  limiti  mavjud  bo'lsa, 
y  =
  f(x) 
funksiya x 
nuqtada differensiallanuvchi funksiya
 deyiladi. Bu limitning qiymati 
y
 = 
f(x) funksiyaning x nuqtadagi hosilasi deyiladi va 
y
/
 = f
  /
(x) ko'rinishda belgilanadi. 
Bu funksiyani 
y = f(x)
 funksiyaning h o s i l a s i deb ataladi. 
Ta'rifga  asoslangan  holda 
y  =  f(x)
  funksiyaning  berilgan 
x
  nuqtadagi  hosilasini 
topishning quyidagi tartibini tavsiya qilamiz: 
1) Berilgan x qiymat uchun f(x) hisoblanadi. 
2) Argument 
x
 ga 

x orttirma berib, f(x+ 

x) topiladi. 
3) Funksiyaning 

f=f(x+

x
)—f(x)
 orttirmasi topiladi. 
4) 
x
f


-
 nisbat tuziladi.  
5) 
x
f


- nisbatning 

x—>0 dagi limiti topiladi. 
Hosilaning  fizik  ma'nosi
.  Faraz  qilaylik,  harakat  qilayotgan  moddiy  nuqtaning 
harakat  qonuni 
s(t}
  = 
f(t),
  ya'ni  vaqtning  uzluksiz  funksiyasi  ko'rinishida  berilgan 
bo'lsin. 
Argument 
t
  ga 

t  orttirma  berib,  s(t)  funksiyaning 

t  orttirmasmi  topamiz. 
Ma'lumki, 

s(t)  = 
s(t  +
 

t)  -  s  (ct),  bu  tenglikdan 
rt
o
v
t
t
t
s
t
t
s
'
)
(
)
(







  ni  olamiz,  ya'ni 
t
t
s


)
(
nisbat  harakatdagi  moddiy  nuqtaning 
[t,  t
  + 

t]  vaqt  oralig'idagi  o'rtacha  tezligini 
beradi.  Hosila  ta'rifiga  ko'ra:    ya'ni  harakatdagi  moddiy  nuqtaning  yo'l 
tenglamasidan  vaqt  bo'yicha  olingan  hosila  moddiy  nuqtaning 
t
  vaqt  momentidagi 
oniy tezligini beradi. 
Shunga o'xshash,
v'(t) =  a(t), 
ya'nitezlik tenglamasidan vaqt bo'yicha olingan hosila 
tezlanishni beradi.