Toshloq tumani

Sana:_____________ 
52-mashg‘ulot 
Dars mavzusi
.     
 Ko'rsatkichli va logarifmik ifodalarni ayniy almashtirishlar.
 
Dars  maqsadlari
:      o‗quvchilarga  ko'rsatkichli  va  logarifmik  ifodalarni  ayniy 
almashtirishlar ni o‗rgatish, ularning fanga qiziqishlarini oshirish. 
                                     
                
Darsning  borishi
: 
      
1. Tashkiliy qism. 
      2. Ko'rsatkichli va logarifmik ifodalarni ayniy almashtirishlar. 
Ko'rsatkichli va logarifmik ifodalarni ayniy almashtirishlarda bir asosdan boshqa asosga 
o‘tish formulasidan kelib chiqadigan ayniyatlar: 
;
log
1
log
log
log
log
)
1
A
n
n
A
a
A
A
a
a
n
a
a
a
n




 
;
log
log
log
log
log
)
2
A
n
n
A
a
A
A
a
a
n
a
a
a
n




 
;
log
log
log
)
3
n
m
a
a
a
n
a
m
a
m
a
n


  
;
log
1
log
log
log
)
4
a
a
b
b
b
b
b
a


 
A
B
a
a
B
A
log
log
)
5

 
 
3. Mustahkamlash. Mustaqil yechish uchun mashqlar 
Hisoblang: 
1.  1) lg 8 + lg 125;   2) lg 13 – lg 130;   3) 
3
lg
2
lg
2
18
lg
8
lg



;  4) lg 72 – lg 9. 
Hisoblang: 
2. 1) 
81
log
4
3
;   2)
2
log
16
;   3)
6
001
,
0
10
log
;   4) 
64
1
log
2
;  
           5) 
16
log
48
log
8
9
8
9
;   6)
1
,
0
lg
2
lg
4
lg
2
1
8
4
2
10
)
16
log
log
(log




 ;  7)
2
lg
3
3
lg
2
64
lg
81
lg




;  
           8) log
2
3∙ log
3 
4∙ log
4 
5∙ log
5 
6∙ log
6 
5∙ log
5 
4∙ log
4
3∙ log
3 
2; 
           9) lg6;   10) lg72. 
3.  Agar: 1) log
6
8 = c bo‘lsa, log
24
72; 
                      2) log
36
8 = b bo‘lsa, log
36 
9; 
                      3) log
1000 
9 = a va log
1000 
4=b bo‘lsa, log
5
6 ni toping. 
4.  log
5 
2 = a  va  log
5 
3 = b ekani ma‘lum. Quyidagilarni a va b orqali  
            ifodalang: 1) log
5 
72;   2) log
5 
15;   3) log
5 
12;   4) log
5 
30. 
5.  Hisoblang: 
;
2
16
log
)
1
2

  
;
25
log
)
2
2
,
0
  
;
01
,
0
lg
)
3
  
;
3
log
)
4
3
1
 
      
4. Darsni yakunlash. 
       5. Uyga vazifa: test yechish tematik axborotnomalardan
 
Tayyorladi:          _________________________ 
Tekshirdi: O‘TIBDO‗ :   __________ _________________________   
  ―_____‖____  201  y.
 

---

Toshloq tumani 
Sana:_____________ 
53-mashg‘ulot 
Dars mavzusi
.     
 Logarifmik tenglamalar , tengsizliklar  va ularni  yechish usullari.
 
Dars  maqsadlari
:      o‗quvchilarga    logarifmik  tenglamalar  ,  tengsizliklar    va  ularni  
yechish usullari ni o‗rgatish, ularning fanga qiziqishlarini oshirish.                                 
                                     
                
Darsning  borishi
: 
      
1. Tashkiliy qism. 
      2. Logarifmik tenglamalar , tengsizliklar  va ularni  yechish usullari. 
1-misol. a) 
log
3
X=9;
 b) 
log
3
64
 =2 tenglamalarni yechamiz. 
Ye  c  h  i  s  h.  a)  Tenglamani  potensirlaymiz.  Natijada: 
x  =
  39;  b)  tenglamani 
potensirlaymiz: 
x
2
=
 64, bundan 
x=
 8. 
2-misol. a) log 
3 
x < 9; b) log
1/3
x<9 tengsizliklarni yechamiz. 
Y e c h i s h. a) oldingi misolda log 
a
x = 9 tenglamaning 
x =
 39 ildizi topilgan edi. Asos 
a=3>1, b=9. 
Yechim: (0; 39) yoki 0 < 
x < 39;
 
b) 
a =1/3

 (0; 1) bo'lgani uchun yechim (3 
-9
; +

) oraliqdan iborat. 
__1,_b__>__0_bo’lsin._Agarda_log_a_x__>'>1-teorema._log_a__f(x)_=_log_a_g(x)__(a_>__0,__a_≠__1)_tenglama_(a>_0'>1-teorema. log 
a
 f(x) = log 
a 
g(x) 
(a >
 0, 
a ≠
 1) tenglama (a> 0, 
a≠
1) 
sistemaga teng 
kuchlidir.
 
1'-teorema.
 . log 
a
 f(x) = log 
a 
g(x) 
(a >
 0, 
a ≠
 1) 
tenglama 




0
)
(
)
(
)
(

x
g
x
g
x
f
 sistemaga teng 
kuchlidir. 
2-teorema. 
Agar
 0 < a < 1 
bo'lsa,
 log 
a
 f(x) = log 
a 
g(x) 
tengsizlik 0 < f(x) < g(x) qo'sh 
tengsizlikka, a>
 1 
bo'lsa, f(x) > g(x)
 > 0 
qo'sh tengsizlikka teng kuchlidir. 
Bu teoremaning isboti logarifmik funksiyaning monotonligidan kelib chiqadi.
 
3 - m i s o 1.  
1
)
5
lg(
8
lg
2
lg
7
lg






x
x
tenglamani yechamiz.
 
Yechish. 1) Tenglamaning aniqlanish sohasini topamiz:  























13
5
8
5
5
7
0
)
5
lg(
8
lg
0
5
0
7






x
x
x
x
x
x
x
x
 
2) ifodani sodda ko'rinishga keltirish maqsadida ayniy almashtirishlarni bajaramiz:
 
0
87
26
4
5
)
7
(
8
5
2
7
8
5
lg
2
7
lg
8
lg
)
5
lg(
2
lg
7
lg
2
2
2









 

















x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
Bundan x = 29 ekani aniqlanadi.  
Tarif:
 log
 a
x
 < b,
 log
 a
x
 
> 
b,
 log
 a
x
 ≤
 
b,
 log
 a
x
 

. b
 ko'rinishdagi  (bu yerda a> 0, 
a≠
1) 
tengsizliklar 
eng  sodda  logarifmik  tengsizliklar
dir.  Ularni  yechishda 
y  =
  log
  a
x
 
funksiyaning monotonligidan foydalaniladi. 
log
  a
x
 
< 
b
  logarifmik  tengsizlikni  qaraymiz.  Agar  0  < 
a  <
  1  bo'lsa,  bu  tengsizlikning 
barcha  yechimlari  to'plami 
(a
b
;  +

)
oraliqdan  iborat  bo'ladi  ( 
a-
  rasm).  Agar 
a  >
  1 

---

Toshloq tumani 
bo'lsa,  qaralayotgan  tengsizlikning  barcha  yechimlari  to'plami  (0; 

)  oraliqdan  iborat 
bo'ladi (
b-
 rasm). 
rasmlar. 
log
 a
x
 
> 
b,
 log
 a
x
 ≤
 
b,
 log
 a
x
 

. b
 tengsizliklar ham shunga o'xshash yechiladi. 
1-teorema
: 
a >
 1, b 
>
 0 bo’lsin. Agarda log 
a 
x 
>
 log 
a 
b bo’lsa, u holda x 
>b bo’ladi.
 
Agarda log 
a 
x 
<
 log 
a 
b bo’lsa, u holda 0 
< x < b bo’ladi.
 
2-teorema. Agar 0 < a < 1 bo'lsin. Agar log 
a 
x 
>
 log 
a 
b bo’lsa, u holda 0 < x < b 
bo’ladi.
 Agar log 
a 
x < log 
a 
b bo’lsa, u holda b < x 
bo’ladi. 
4- m i s o 1. 
0
3
5
3
log



x
x
x
 tengsizlikni yeching.
 
Yechish.  Tengsizlikni 
1
log
3
5
3
log
x
x
x
x



  ko'rinishda  yozib  olamiz  va  quyidagi  hollarni 
qaraymiz:
 
1)  0 

bo'lsin.  U  holda 
1
3
5
3



x
x
    tengsizlikka  yoki 
0
3
4



x
x
  tengsizlikka  ega 
bo'lamiz. Bu tengsizlik (0; 1) oraliqda yechimga ega emas. 
 
2) 
x  >
  1  bo'lsin.  U  holda  0  <
1
3
5
3



x
x
  qo'sh  tengsizlikka  ega  bo'lamiz.  Bu  qo'sh 
tengsizlik x > 1 shartni qanoatlantiruvchi yechimga ega emas. Shunday qilib, berilgan 
tengsizlik yechimga ega emas. 
        Logarifmik tenglamalar sistemasini yechishda algebraik qo‘shish, o‘rniga qo‘yish, 
yangi  o‘zgaruvchini  kiritish,  ko‘paytuvchilarga  ajratish  grafuk  yechish  usullarudan, 
shuningdek funksiyalarning hossalaridan foydalaniladi. 
5 – m i s o l. 









243
log
log
log
3
log
log
log
3
3
3
3
3
3
5
y
x
y
x
ni  yeching. 
Yechish:  Logarifmlarni  bir  asosga  (a=3  ga)  keltirib,  potensirlashlar  va 
soddalashtirishlar bajariladi. 
x
x
3
3
log
2
log

 ; log 
3 
3=1; 
3
log
5
log
3
3
5

;  
log
 3 
x = u; log
 3 
y = v.
 









243
log
log
log
3
log
log
log
3
3
3
3
3
3
5
y
x
y
x
















3
27
3
5
2
5
2
3
x
y
v
u
v
u
.