Toshkent aloqa tehnologiyalari universiteti u. N. Karimova metrologiya va telekommunikatsiya tizimlarida o

2.2. Tasodifiy xatoliklar
2.2.1. Tasodifiy xatoliklarning ta’riflanishi
Bitta o’zgarmas kattalikning hatto bir xil sharoitlarda takroriy o’lchashlarda ko’pincha bir-biridan farq qiladigan natijalar hosil bo’ladi. Ayrim o’lchashlar natijalarining farq qilishi tasodifiy xatolik mavjudligidan darak beradi. Tasodifiy xatolik bir necha omillar­ni bir vaqtda ta’siri natijasida yuzaga keladi. Agar ta’sir etuvchi omillar o’zaro qonuniyatli bog’lanishga ega bo’lmasa, ularning o’lchash nati­jasiga ta’siri tasodifiy xarakterda bo’ladi. O’lchash natija­siga bunday ta’sir xarakteri, ayrim o’lchashlar natijalari orasidagi sezilarli farq oldingi va keyingi natijalar bilan qonuniyatsiz bog’la­nishda namoyon bo’lishiga olib keladi. Bu tasodifiy xatoliklar haqida so’z yuritish uchun asos bo’ladi. Shuni qayd etish kerakki, taso­difiy xatoliklar etarlicha aniq asboblardan foydalanishda namoyon bo’ladi va gap ayrim o’lchash natija­lari­ning juda kichik og’ishlari haqida boradi.
Tasodifiy xatoliklarni o’rganish ehtimollik nazariyasi va matematik statistika asosida amalga oshiriladi. Metrolo­giya­ning rivoji shuni ko’rsatadiki, ehtimollik nazariyasi va matematik statistikaning matematik apparati tasodifiy xatoliklarni o’rganish masalasiga muvofiqdir va uni to’g’ri qo’llanilganda nazariy natijalar tajriba ma’lu­mot­lariga yaxshi mos keladi.
2.2.2. Tasodifiy xatoliklarning matematik modellari
Tasodifiy xatoliklar mavjud bo’lganida ayrim o’lchash natijasi haqiqiy qiymat X dan farq qilishi mumkin: X_i – X = ∆X. Bu ayirma ayrim o’lchashning tasodifiy xatoligi deb ataladi. X ning asl qiymati bizga noma’lum, biroq matematik statistika ko’p karra o’lchash natijalari asosida ∆X xatolikni aniqlashda amaliyot uchun etarlicha aniqlik darajasida asl qiymatining o’rnini bosishi mum­kin bo’lgan «haqiqiy» qiymat deb ataladigan qiymatni hisoblashga imkon beradi.
Tasodifiy xatoliklar o’zgarishini tavsiflashning universal usuli taqsimot funksiyasi F(x) bo’lib, u X taso­difiy miqdor o’lchashlar natijasida X dan kichik qiymat qabul qilishini aniqlaydi, ya’ni F(x) = P(X < x). Buni geometrik nuqtai nazardan bunday talqin qilish mumkin: F(x) – tasodifiy miqdor son o’qida x nuqtadan chaproqda yotadigan nuqta bilan tavsiflanadigan qiymat qabul qilishi ehtimoli mavjudligidir.
Uzluksiz tasodifiy miqdorni boshqacha funksiya bilan ham berish mumkin bo’lib, u taqsimot zichligi yoki taqsi­mot funksiyasi deb ataladi. Uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi yoki taqsimot zichligi deb, F(x) taqsimot funksiyasidan olingan f (x) ni birinchi hosila aytiladi. Ehtimollik zichligi o’z ma’nosiga ko’ra tasodifiy miqdor­ning ∆X interval ichiga tushish ehtimolligining bu inter­val uzunligiga nisbatiga, u nolga intiladi degan farazda, teng:
(2.3)
Taqsimotning zichlik funksiyasi qaralayotgan masalaga nisbatan ayrim o’lchashlar natijalariga ham, ularning xatoliklariga ham aloqadordir. Gap shundaki, tasodifiy xatolik mavjud bo’lganda ham o’lchash natijasining, ham xatolikning intervalli bahosi deb ataladigan baho qabul qilingan. Bu holda o’lchanayotgan kattalikning eng ehtimolli qiymati va ayrim o’lchash natijasi ma’lum ehtimollik bilan tushadigan biror interval (plyus-minus bilan) aniqlanadi. Bu ehtimollikni aniqlash ushbu ma’lum teorema asosida amalga oshirilishi mumkin: «X uzluksiz tasodifiy miqdor­ning (a, b) intervalga tegishli qiymatni qabul qilish ehtimol­ligi taqsimot zichligidan a dan b gacha chegaralarda olingan aniq integralga teng:
(2.4)
Ehtimollik zichlik funksiyasining konkret (aniq) ko’rinishi foydalanilayotgan o’lchash vositasi xossalariga bog’liq. O’lchash xatoligini baholash uchun ko’pincha normal taqsimot qonunidan
(2.5)
(Gauss qonuni) foydalaniladi.
Ushbu (2.5) ifodadan ko’rinib turibdiki, normal taqsimot ikkita parametr: a va s bilan aniqlanadi. Bu kattaliklar­ning ehtimollik ma’nosi quyidagicha: a – normal taqsimot­ning matematik kutilish miqdori, σ – o’rtacha kvadratik og’ishi.
Matematik kutilish ushbu integral orqali aniqlanadi:
(2.6)
O’rtacha kvadratik og’ish uzluksiz tasodifiy miqdorning dispersiyasi orqali aniqlanadi. Uzluksiz tasodifiy miqdor­ning dispersiyasi deb, uning og’ishi kvadratining matema­tik kutilishiga aytiladi. Agar X ning mumkin bo’lgan qiymatlari [c, d] kesmaga tegishli bo’lsa, u holda
(2.7)
(2.5) formulaga kirgan o’rtacha kvadratik og’ishi
(2.8)
tenglik bilan aniqlanadi.
(2.5) formulani o’lchashlar xatoligi ehtimollik zichli­gi­ning tavsifiga tatbiq etib,
(2.9)
ni hosil qilamiz, bu yerda p(∆X) – tasodifiy xatolik ∆X = X_i – X ning ehtimollik zichligi, σ – o’rtacha kvadratik og’ish – ayrim kuzatishlar natijalarining X ning asl qiymatiga nisbatan tasodifiy sochilish (tarqoqlik) dara­ja­sini tav­sif­laydigan ko’rsatkich.
O’lchash xatoligining o’rtacha kvadratik og’ishi miqdori ushbu munosabatdan aniqlanadi:
(2.10)
bunda X_i – ayrim o’lchash natijasi, n – o’lchashlar soni, X – o’lchanayotgan kattalikning asl qiymati.
(2.9) ifoda bilan tavsiflanadigan funksiyaning grafik­lari 2.2-a rasmda s ning uchta qiymati uchun ko’r­satilgan. Gorizontal o’q bo’ylab ∆X/σ me’yorlangan kattalik, ya’ni xatolikning o’rtacha kvadratik og’ishga bo’lingan (tar­qal­gan) miqdori qo’yilgan. (2.9) funksiya grafigi ordinata­lar o’qiga nisbatan simmetrik, abstsissalar o’qiga asimpto­tik yaqinlashuvchi qo’ng’iroqsimon egri chiziq bilan tasvir­la­nadi. Bu egri chiziqning maksimumi ∆X = 0 nuqtada bo’ladi, bu maksimumning kattaligi esa 2.2-a rasmdan ko’rinib turibdiki, σ qancha kichik bo’lsa, egri chiziq shuncha torroq bo’ladi, demak, katta og’ishlar kamroq uchraydi, ya’ni o’lchashlar aniqroq bajariladi. Xatolikning ∆X₁ va ∆X₂ orasidagi chegaralarda paydo bo’lish ehtimolligi 2.2-b rasmdagi shtrixlangan yuza bilan aniq­lanadi, ya’ni p(∆X) funksiyadan olingan ushbu aniq intervalga teng:
(2.11)
Bu integralning qiymati turli chegaralar uchun hisob­langan va jadvallarda kiritilgan. ∆X₁ = –X va ∆X₂ = +X chegaralar uchun hisoblan­gan integral birga teng bo’ladi, ya’ni tasodifiy xatolikning –X dan +X gacha bo’lgan inter­valda ro’y berish ehtimolligi birga teng.
Hisoblashlarni o’tkazishda ∆X₁ va ∆X₂ kattaliklarni ko’pincha miqdori bo’yicha teng va ishorasi bo’yicha qarama-qarshi deb qabul qilinadi, bu esa ularning o’rniga qulayroq e simvolni kiritish va ehtimollik baholanadi­gan intervalni e bilan belgilash imkonini beradi. Mazkur interval 2.2-a rasmda vertikal o’qqa nisbatan simmetrik joylashgan.


e kattalikni o’lchamsiz koeffitsient k yordamida o’rtacha kvadratik og’ish bilan bog’lash, ya’ni e = ks deb qabul qilish qulay bo’ladi. e kattalikni ishonchlilik intervali, xatolik bu intervalga joylashadigan P ehtimollikni esa ishonchli­lik ehtimoli deb atash qabul qilingan. O’lchash natijasini  ko’rinishda ifodalash mumkin.
Zaruriy hisoblashlarni Laplas funksiyasidan foydala­nib bajarish mumkin. Bu funksiyaning qiymatlari jadval­lashtirilgan va matematik ma’lumotnomalarda mavjud. Buning uchun (2.11) formulani yangi o’zgaruvchi k=e/s ni ki­ritib, o’zgartirish lozim:
(2.12)
Ehtimolliklar integrali qiymatlari 2.1-jadval