21-mavzu. Tasodofiy miqdorlarda taqsimot qonunlari Normal taqsimot qonuni. Ta’rif

21-mavzu. Tasodofiy miqdorlarda taqsimot qonunlari


Normal taqsimot qonuni.
Ta’rif. Agar uzluksiz tasodifiy miqdorni taqsimot zichligi funksiyasi quyidagi ko’rinishda bo’lsa, bunday taqsimotga normal taqsimot deyiladi.

bu yerda va  lar normal taqsimotni parametrlari, - matematik kutishi,  - o’rtacha kvadratik chetlanishi.
Normal taqsimlangan tasodifiy miqdorni matematik kutishini topamiz.
( 1 )
buni integrallash uchun o’zgaruvchilarni almashtiramiz.
bundan

integralni chegaralari o’zgarmaydi. Topilganlarni (1) qo’ysak,

Birinchi integral nolga teng, ikkinchi integral Puasson integrali:
,
shuning uchun kelib chiqadi.
Xuddi shunday , agar normal taqsimotda bo’lsa,

ga normallashtirilgan normal taqsimot deyiladi. Normal taqsimotni taqsimot funksiyasi

bo’lgani uchun normallashtirilgan normal taqsimotni taqsimot funksiyasi

bo’ladi.
- Laplas funksiyasi ekanini eslab, tasodifiy miqdorni berilgan oraliqqa tushish ehtimolidan
.
Normal taqsimotda - o’rta qiymatni ko’rsatadi.  esa o’rtacha kvadratik chetlanishini,  ning o’sishi bilan normal taqsimot grafigining cho’qqisi pasayib boradi, ya’ni tarqoqlik ko’payadi.
a) Normal taqsimlangan tasodifiy miqdorni berilgan oraliqqa tushish ehtimoli.
Agar uzluksiz tasodifiy miqdor bo’lsa hamda uni taqsimot zichligi funksiyasi bo’lsa, ni oraliqqa tushish ehtimoli
.
Agar normal taqsimlangan bo’lsa,



integralga ega bo’lamiz. Buni integrallash uchun o’zgaruvchini almashtiramiz.

bo’lsa, bo’lsa, bo’ladi.
Shunday qilib, quyidagiga ega bo’lamiz:

Shunday qilib, Laplas funksiyasi

ekanini e’tiborga olsak,

kelib chiqadi.
Misol. Normal taqsimlangan tasodifiy miqdor ni matematik kutishi 30 ga, o’rtacha kvadratik chetlanishi 10 ga teng. Tajriba natijasida shu tasodifiy miqdorlarni oraliqqa tushish ehtimoli topilsin.
Yechish. Shartga ko’ra

b) Chetlanishni ehtimoli.
Ko’p hollarda normal taqsimlangan tasodifiy miqdorni chetlanishini ni absolyut qiymati bo’yicha biror sondan kichik qiymat qabul qilishini baholashga to’g’ri keladi, ya’ni

tengsizlikning ro’y berish ehtimolini topish talab qilinadi. Bu tengsizlikni quyidagi ikkilangan tengsizlik bilan almashtiramiz:

bu tengsizlikning hamma tomoniga ni qo’shsak,

qo’sh tengsizlikni hosil qilamiz.
Demak,

(Bu yerda funksiyani juftligi hisobga olindi).
Shunday qilib,
.
Agar bo’lsa,
.
Bu ehtimol ga bog’liq bo’lmasdan oraliqni uzunligiga, to’g’ri proporsional va o’rtacha kvadratik chetlanish  ga teskari proporsionaldir.

Ko’rsatkichli taqsimot
Ta’rif. Agar uzluksiz tasodifiy miqdorni taqsimot zichligi funksiyasi quyidagi ko’rinishda bo’lsa, bunday taqsimotga ko’rsatkichli (eksponensial) taqsimot deyiladi.

bu yerda  - musbat o’zgarmas son. Taqsimot funksiyasini topamiz:

Demak,

Bularni grafiklari mos holda pastdagi shakllarda ko’rsatiladi:
Ko’rsatkichli taqsimotga ega bo’lgan tasodifiy miqdorni berilgan oraliqqa tushishi ehtimoli:
.
bularni e’tiborga olsak, quyidagi tenglikni hosil qilamiz:
.
Ko’rsatkichli taqsimotni matematik kutishi
.
Bu integralni bo’laklab integrallash usuli bo’yicha integrallaymiz:

Ko’rsatkichli taqsimotni dispersiyasini topamiz:
.
Bu integralni ham bo’laklab integrallash usuli bo’yicha integrallaymiz:
.
Buni yuqoridagi formulaga qo’ysak,
.
va ni taqqoslab, quyidagi xulosaga kelamiz:
,
ya’ni ko’rsatkichli taqsimotning matematik kutishi va o’rtacha kvadratik chetlanishi o’zaro teng.
Takrorlash uchun savollar

1. 
   Uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi.
   
2. 
   Uzluksiz tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi.
   
3. 
   Normal taqsimot qonuni.
   
4. 
   Ko’rsatkichni taqsimot qonuni.