Termiz davlat universiteti fizika-matematika fakulteti algebra va geometriya kafedrasi

II-BOB.Chiziqli tengsizliklar sistemasining birgalikdalik kriteriyasi
2.1-§.Ikki no‘malumli chiziqli tengsizliklar sistemasining yechimlar sohasi
Bundan keyin bizning maqsadimiz chiziqli tengsizliklar sistemasining yechimlarini topishning effektiv usulini bayon qilishdan iborat.
Ushbu paragrafda biz masalaning yechimini 2-no‘malumli sistema uchun bayon qilsakda uni mumkin qadar umumiy nuqta-i nazardan bayon qilamiz va ulardan keyingi ishlanishlarimizda foydalanamiz.
1⁰. Zaruriy lemmalar. Ushbu
(1)
tengsizlik sistemasi berilgan bo‘lsin. (1) bilan birga unga mos bo‘lgan bir jinsli
(2)
sistema va bir jinsli tenglamalar sistemasi
(3)
ni qaraymiz. Bu sistemalarning tekislikdagi yechimlari sohalarini mos ravishda bilan belgilaymiz. U holda
Avvalo quyidagi lemmani isbotlaymiz.
1-lemma. (1) sistemaning ixtiyoriy yechimining yig‘indisi ya’ni (1) sistemaning yechimi bo‘ladi ya’ni

Isboti. va bo‘lsin. U holda ular mos ravishda (1) va (2) ni qanoatlantirishi kerak.

Bu tengsizliklarni hadlab qo‘shib

ga ega bo‘lamiz. Bunda nuqtaning koordinatalari bo‘lgan sonlar juftligi (1) sistemaning yechimi ekanligi kelib chiqadi, ya’ni
2-lemma. 1) Agar A nuqtadan boshlanuvchi biror nur to‘laligicha Kga tegishli bo‘lib P esa shu nurning K ixtiyoriy nuqtasi bo‘lsa, u holda P-A€K₀ bo‘ladi.
2) Agar biror to‘g‘ri chiziq to‘laligicha K ga tegishli bo‘lib K va P lar esa shu to‘g‘ri chiziqning ixtiyoriy nuqtalari bo‘lsalar P-A€L bo‘ladi.
Isboti. 1)B=P-A deb belgilab olaylik. Qaralayotgan nurni
A+sB (4)
ko‘rinishdagi nuqtalar to‘plami deb qarash mumkin. Bunda s>0 – haqiqiy son. Bu nuqtalarning ixtiyoriy shartga ko‘ra (1) ning yechimi, ya’ni :
(5)
Bulardan birortasini, masalan birinchisini olib qaraylik:

Bu tengsizlik ixtiyoriy uchun o‘rinli bo‘lishi uchun . bajarilishi kerak. Xuddi shuningdek mulohaza yuritib (5) dan

larni ya’ni ni hosil qilamiz.
Lemmaning ikkinchi qismi ham yuqoridagi singari isbotlanadi. Bu holda qaralayotgan to‘g‘ri chiziqni (4) nuqtalar to‘plamidan iborat deb qaraymiz. Faqat endi ixtiyoriy haqiqiy son. (5) tengsizliklar ning ixtiyoriy qiymatlarida o‘rinli bo‘lishi uchun oldidagi barcha koeffitsentlar nolga teng bo‘lishi kerak.

Demak
Osonlik bilan ko‘rish mumkinki, 1 va 2 lemmalar ixtiyoriy sondagi no‘malumlar qatnashgan tengsizliklar sistemalari uchun ham o‘rinli bo‘ladi.
2⁰. (1) sistema normal bo‘lgan nol (1) va (3) sistemalarni qaraymiz. (3) sistema hamma vaqt nol yechimga ega. Shuning uchun ham uning nolmas yechimga ega.bo‘lgan hollari muhim.