O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O‘RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI
TERMIZ DAVLAT UNIVERSITETI FIZIKA-MATEMATIKA FAKULTETI
ALGEBRA VA GEOMETRIYA KAFEDRASI
OLCHIYEV AKBAR ABDIMALIK O‘G‘LI «CHIZIQLI TENGSIZLIKLAR SISTEMASINING BIRGALIKDALIK KRITERIYASI VA UNING TADBIQLARI»
BITIRUV MALAKAVIY ISHI
5130100-matematika ta’lim yo‘nalishi bo‘yicha bakalavr akademik darajasini olish uchun
Ilmiy rahbar: prof.I.Allakov
TERMIZ – 2022 MUNDARIJA I. Kirish………………………………………………….………………………. 3 a. Mavzuning dolzarbligi………………………………………………………… 3 b. Ishning asosiy natijalari……………………………………………………….. 5 II. Asosiy qism…………………………………………………………………... 6 I-BOB. Bir jinsli chiziqli tengsizliklar sistemasi yechimlarining qavariq konusi…………………………………………………………………………… 6 1.1-§. Analitik geometriyadan ba’zi bir natijalar……………………………….... 6 1.2-§. Nuqtalar sistemasining qavariq qobig‘i…………………………………… 8 1.3-§. Bir jinsli chiziqli tengsizliklar sistemasi yechimlarining qavariq konusi… 13 II-BOB. Chiziqli tengsizliklar sistemasining birgalikdalik kriteriyasi……... 16 2.1-§. Ikki no‘malumli chiziqli tengsizliklar sistemasining yechimlar sohasi….. 16 2.2-§. Ixtiyoriy sondagi no‘malum ishtirok etgan chiziqli tengsizliklar sistemasi. 22 2.3-§. Chiziqli tengsizliklar sistemasining birgalikdalik kriteriyasi…………….. 34 III. Xulosalar…………………………………………………………………… 45 Foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxati………………………………………….. 50
II. Asosiy qism I-BOB. Bir jinsli chiziqli tengsizliklar sistemasi yechimlarining qavariq konusi 1.1-§.Analitik geometriyadan ba’zi bir natijalar 1.Nuqtalar vektorlar ustida amallar.Tekislikda to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasini qaraymiz. U holda tekislikdagi har bir nuqtaga uning koordinatalari deb ataluvchi ikkita va haqiqiy son mos keladi va buni biz koʻrinishida belgilaymiz.
Nuqtalarni qo‘shish va songa ko‘paytirish amallarini vektorlardagi singari aniqlaymiz, ya’ni va nuqtalar berilgan bo‘lsa, u holda demak nuqtalarni qo‘shish ularning bir xil rusumli koordinatalarini qo‘shish bilan aniqlanadi.
nuqtani ixtiyoriy soniga ko‘paytirish qoida bilan aniqlanadi.
Bu amallar geometrik nuqtai nazardan juda sodda talqin qilinadi. Koordinatalar boshini desak yig‘indi va kesmalarga qurilgan parallellogramning to‘rtinchi uchidan iborat.(1-shakl)
nuqta bo‘lsa nurda yotadi, agarda bo‘lsa nurning to‘ldiruvchi qismida yotadi va bo‘ladi (2-shakl).
Nuqtalar ustida amallarni bunday aniqlash ba’zi geometrik tasdiqlarni algebra tiliga ko‘rishga qulay. Ba’zi bir misollar keliramiz.
1) kesma ko‘rinishdagi barcha nuqtalardan tashkil topgan. Bunda ixtiyoriy shartni qanoatlantiruvchi manfiy bo‘lmagan sonlar.
Bu tasdiqni isbotlash uchun kesmadagi ixtiyoriy nuqtani qaraymiz. nuqtadan va larga parallel to‘g‘ri chiziqlar o‘tkazib kesmada va OM2 kesmada nuqtalarni hosil qilamiz (3-shakl).
Faraz qilaylik:
sonlar manfiy bo‘magan sonlar bo‘lib bo‘ladi.
Shakldagi uchburchaklarning o‘xshashligidan
= = , = =
bo‘ladi. Bulardan va bo‘lgani uchun
Bu yerda agar kesmada da ga qarab o‘zgarganda esa dan gacha qiymatlarni qabul qiladi. Shunday qilib -tasdiq isbotlandi.
2) to‘g‘ri chiziqning ixtiyoriy nuqtasi ni ko‘rinishda ifodalash mumkin, bunda – biror son.
Haqiqatdan ham, agart nuqta kesmada yotsa bu tasdiq yuqorida isbotlangan -tasdiqdan kelib chiqadi. Endi faraz qilaylik nuqta kesmadan tashqarida yotsin. U holda nuqta kesmaga tegishli bo‘ladi. Aniqlik uchun faraz qilaylik -hol bo‘lsin. U holda isbotlanganiga asosan , .
Bundan
ikkinchi hol ham xuddi shuningdek isbotlandi va uni tinglovchilarga mustaqil topshiriq sifatida berish mumkin.
3) parametr dan ∞ gacha o‘sib o‘zgarganda nuqta nurda (bunda nuqta koordinatalar boshidan farqli deb qaraladi). nuqta esa nuqtadan chiquvchi OB nuqtadagi nurda o‘zgaradi. (5-shakl)
parametr dan gacha o‘zgarganda va nuqtalar yuqoridagi aytilgan nurlarni to‘ldiruvchi nurlarda o‘zgaradi (6-shakl).
Isboti: 5 va 6-shakllardan bevosita kelib chiqadi.
3-tasdiqdan kelib chiqadiki parametr dan gacha o‘zgarganda nuqta nuqtadan o‘tuvchi va ga parallel to‘g‘ri chiziqdagi nuqtalarda o‘zgaradi.
Qo‘shish va songa ko‘paytirish amallarni fazodagi nuqtalar ustida ham bajarish mumkin.
Bu holda:
va nuqtalar to‘plamining yig‘indisi deganda K+l ko‘rinishdagi barcha nuqtalar to‘plamiga aytiladi, ya’ni .
Bir nechta misollar qaraylik.
1. K to‘plam faqat bitta nuqtadan esa ixtiyoriy nuqtalar to‘plamidan iborat bo‘lsin. U holda to‘plam to‘plamni masofa (uzunligi kesmaning uzunligiga teng masofaga) ko‘chirish natijasida hosil bo‘lgan to‘plamga teng (7-shakl).
Xususiy holda to‘g‘ri chiziqdagi nuqtalar to‘plami bo‘lsa, to‘plam to‘g‘ri chiziqdan masofadan o‘tuvchi ga parallel to‘g‘ri chiziqdagi nuqtalar to‘plami bo‘ladi.(8-shakl).
2. va lar (fazodagi yoki tekislikdagi parallel bo‘lmagan kesmalardagi nuqtalar to‘plami bo‘lsin. U holda to‘plam tomonlari mos ravishda va to‘plam tomonlari mos ravishda va larga teng va parallel parallellogramdan iborat bo‘ladi. (9-shakl)
3. -tekislik unga parallel bo‘lmagan kesma bo‘lsin. U holda to‘plam fazoning ga parallel ta tekisligi orasidagi qismi bo‘ladi. (10-shakl)
4. va lar markazlari va nuqtalarda radiuslarda mos ravishda va ga teng, bunda tekislikda yotuvchi doiralar bo‘lsin. U holda to‘plam markazi nuqtalarda radiusi teng tekislikka parallel tekislikda yotuvchi doiradan iborat bo‘ladi. (11-shakl)
Ikki va uch no‘malumli birinchi darajali tenglama va tengsizliklarning geometrik ma’nosi.
Ushbu
(1)
ikki no‘malumli birinchi darajali tenglamani qaraymiz. (1) da va larni tekislikdagi nuqtaning koordinatalari deb qarab uning tekislikdagi qanday nuqtalar to‘plamini aniqlashini aniqlaylik. O‘quvchilarga ma’lumki (1) tekislikda to‘g‘ri chiziqni aniqlaydi. Chunki uni bo‘lganda ko‘rinishida yozishimiz mumkin. bo‘lsa (1) dan bo‘lib o‘qiga parallel to‘g‘ri chiziq tenglamasiga kelamiz.
Agar
(2)
tengsizlikni qarasak ham yuqoridagi singari savollarga javob berishimiz mumkin.
Bu tengsizlik bo‘lganda
yoki
ko‘rinishlardan biriga keltiriladi. Bu tengsizliklardan birinchi to‘g‘ri chiziqdan va undan yuqorida, ikkinchisi esa shu to‘g‘ri chiziq va undan pastda yotuvchi nuqtalar to‘plamidan iborat.
Agar bo‘lsa (2) – tengsizlik yoki ko‘rinishlardan biriga keltiriladi. Bulardan birinchisi to‘g‘ri chiziq va undan chapda joylashgan nuqtalar to‘plamini beradi. (13-shakl)
Endi yuqoridagi singari masalani
(3)
tenglama va
(4)
tengsizlik uchun qaraymiz. Bularda larni fazodagi nuqtaning koordinatalari sifatida qarasak quyidagi teorema o‘rinli.
