Termiz davlat universiteti fizika-matematika fakulteti algebra va geometriya kafedrasi

Teorema. (3) tenglama fazoda biror tekislikni aniqlaydi. (4) tengsizlik esa (3) tekislik fazoni ta yarim tekislikga ajratganda hosil bo‘lgan yarim tekislikga ajratganda hosil bo‘lgan yarim tekisliklardan birini beradi.
Isboti. sonlaridan birortasi, masalan bo‘lsin, u holda (3) tenglamani
(5)
ko‘rinishida yozish mumkin. (5) tenglamani qanoatlantiruvchi nuqtalar to‘plamini bilan belgilaylik. ning tekislik ekanligini ko‘rsatamiz.
Avvalo dagi qaysi nuqtalar koordinatalar tekisligiga tegishli ekanligini aniqlaymiz. Buning uchun (5) da deb olamiz, u holda
(6)
tenglama hosil bo‘ladi. Demak ning tekislik bilan kesishma (6) – tenglama bilan aniqlanuvchi to‘g‘ri chiziqdan iborat ekan (13-shakl)
Shunga o‘xshash ning tekislik bilan kesishmasi
(7)

tenglama bilan aniqlanuvchi to‘g‘ri chiziqdan iborat. Ikkala to‘g‘ri chiziq ham nuqtadan o‘tadi. to‘g‘ri chiziqlar tegishli bo‘lgan tekislikni bilan belgilaymiz va ning ga tegishli ekanligini ko‘rsatamiz.
Buning uchun ning ixtiyoriy nuqtasida va ga parallel to‘g‘ri chiziqning ga tegishli ekanligini ko‘rsatish yetarli.
Avvalo bo‘ladigan biror nuqtani topamiz. tekislikda tenglama to‘g‘ri chiziqni aniqlaydi, demak ga parallel bo‘lgan va koordinatalar boshidan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasi nuqta sifatida shu to‘g‘ri chiziqda yotuvchi koordinatali nuqtani olish mumkin.
Ixtiyoriy nuqtaning koordinatalari dan iborat. Biz tanlagan nuqtaning koordinatalari esa ga teng. nuqtadan o‘tuvchi va to‘gri chiziqqa parallel to‘g‘ri chiziq

ko‘rinishdagi nuqtalar to‘plamidan iborat bo‘ladi. Bu yerda -ixtiyoriy son. Osonlik bilan tekshirib ko‘rish mumkinki nuqtaning koordinatalari (5) tenglamani qanoatlantiradi, ya’ni Shu bilan birga tekislikning to‘laligicha to‘plamga tegishli ekanligini ko‘rsatdik. Endi ning bilan ustma-ust tushishini ko‘rsatamiz, ya’ni da ning nuqtalaridan boshqa nuqtalar yo‘qligini ko‘rsatamiz.
Buning uchun 3 ta nuqtani qaraymiz:
tekislikdagi , π tekislik yuqorida yotuvchi tekislikdan pastda yotuvchi nuqtalarni qaraymiz. (14-shakl)

bo‘lgani uchun va demak

bu yerdan nuqtaning koordinatalari qa’tiy tengsizlikni, nuqtaning koordinatalari esa qa’tiy tengsizlikni qanoatlantirishi kelib chiqadi. Shuning uchun ham va nuqtalar ga tegishli emas. Bundan tashqari bizning yuqoridagi mulohazalarimizdan kelib chiqadiki tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha nuqtalar to‘plami – tekislik fazo 2 ta yarim fazolarga ajratganda hosil bo‘lgan yarim fazolardan biridir.
3.Ikki va uch no‘malumli tengsizliklar sistemalarining geometrik ma’nosi:
ushbu ikki no‘malumli tengsizliklar sistemasi
(1)
berilgan bo‘lsin. Yuqorida qaraganlarimizga asosan bularning har biri koordinatalar tekisligida biror yarim tekislikni aniqlaydi. Bu yarim tekisliklarni mos ravishda deb belgilab olamiz. Agar biror juftlik (1) sistemani qanoatlantirsa nuqta bu tekisliklarning barchasi birdaniga tegishli bo‘ladi ya’ni M(x,y) nuqta yarim tekisliklarning kesishmasi esa biror ko‘pburchakli sohani beradi(15-shakl). Bu sohaga (1) sistemaning yechimlari sohasi deyiladi. Shuni ham ta’kidlashimiz kerakki, (1) ning yechimlar sohasi hamma vaqt ham chegaralangan bo‘lavermaydi, chegaralanmagan 16-shakldagi singari ochiq soha ham bo‘lishi mumkin. Bu holda ham yechimlar sohasini qulaylik uchun ko‘pburchakli soha (yoki ko‘pburchak) deb atashga kelishamiz. soha bitta ham elementga ega bo‘lmasligi mumkin(17-shakl). Bu holda (1) sistemani ziddiyatli sistema deyiladi. Yechimlar sohasi hamma vaqt qavariq bo‘ladi.
Bizga ma’lumki, agar qaralayotgan to‘plamga uning ixtiyoriy 2 ta nuqtasi va bilan birga shu nuqtalarni tutashtiruvchi kesma ham tegishli bo‘lsa, bunday to‘plamga qavariq to‘plam deyiladi.(18-shakl)
Yechimlar sohasi K ning qavariqligini bu sohani hosil qilish usulidan kelib chiqadi. Har bir yarim tekislik qavariq soha, ularning kesishmasi ham qavariq bo‘ladi. Bu esa quyidagi lemmadan kelib chiqadi.