Теория систем и системный анализ

Кривые роста. Графическое решение задачи прогнозирования является приближенным и носит субъективный характер. Более точ­ный прогноз можно получить с помощью аналитического выравни­вания динамических рядов - нахождения модели Р = F(t). При построении этой модели возникают те же проблемы, что и при по­строении любой другой: выбор структуры модели, оценивание ее па­раметров (коэффициентов) и оценка точности модели. Рассмотрим первую проблему. При выборе структуры модели проходится опре­делять, какие входные переменные войдут в модель и в каком виде. Здесь мы имеем только одну входную переменную - t, поэтому за­дача сужается до поиска функции одной переменной.
Функции, описывающие закономерности развития явления во времени, полученные путем аналитического выравнивания динами­ческих рядов, получили название кривые роста. Вопрос о выборе типа кривой является основным; ошибка этого этапа более значима по своим последствиям, чем ошибка в оценивании параметров.
Многолетние исследования временных рядов в экономике, социо­логии, политике, демографии и других экономико-общественных на­уках позволили выявить ряд наиболее распространенных кривых ро­ста, описывающих соответствующие явления в этих науках.
Наиболее часто применяют такие простые функции, как:
1) мно­гочлены (полиномы);
2) различного рода экспоненты;
3) логисти­ческие кривые.


Многочлены. Для выравнивания временных рядов использу­ются многочлены:





При этом коэффициент а₁ можно трактовать как скорость роста, а₂ - ускорение роста, а₃ - изменение ускорения роста. Многочлены первой степени предполагают постоянство приращения ординат для процессов, равномерно развивающихся во времени. Парабола второй степени описывает движение с равномерным изменением прироста, т. е. равноускоренных процессов.
Обоснованием применения полиномов при выборе структуры мо­дели может быть теорема Вейерштрасса, из которой следует, что любую непрерывную функцию на заданном отрезке можно сколь угодно точно описать многочленом.


Экспоненты. Самая простая экспоненциальная (показатель­ная) кривая имеет вид P_t = ab^t. Если это уравнение прологариф­мировать, то в полулогарифмических координатах получим уравне­ние прямой



Более сложную зависимость можно описать логарифмической параболой





Рассмотренные выше кривые, соответствующие многочленам, не имеют асимптот, их рост ничем не ограничен. В отличие от них экспо­ненциальная кривая и логарифмическая парабола имеют асимптоты, но только в области P_t = 0. Однако есть много процессов, имеющих асимптоту, отличающуюся от нуля. Наиболее простым представите­лем семейства кривых, имеющих такую асимптоту, является кривая, получившая в статистике название модифицированной экспоненты: