Тема несобственные интегралы

Пример 1. .
Подынтегральная функция имеет особую точку , расположенную внут-ри промежутка интегрирования, поэтому
.
Рассмотрим первый из этих интегралов:

Этот интеграл расходится, значит, расходится и данный интеграл .
III Формула Ньютона-Лейбница для несобственного интеграла 2-го рода
Примем без доказательства теорему, которая упрощает вычисление несобственных интегралов 2-го рода.
Теорема 1. Пусть функция имеет на отрезке одну или несколько особых точек и пусть – её первообразная, т.е. всюду, за исключением особых точек. Если эта первообразная непрерывна и в этих особых точках, то имеет место формула
.
Примеры. 2. .
3.
4. . Найдем первообразную:

В нуле первообразная не определенна, однако . Положив , мы получим непрерывную на первообразную, поэтому
.

Признаки сходимости несобственного интеграла 2-го рода
Эти признаки совершенно аналогичны признакам сходимости для несобственного интеграла 1-го рода. Приведем лишь их формулировки.
Теорема 1 (1-й признак сравнения). Пусть функции и непрерывны на и – их общая особая точка. Если они удовлетворяют условию , то:
1) из сходимости интеграла от функции следует сходимость интеграла от функции ;
2) из расходимости интеграла от функции следует расходимость интеграла от функции .
Теорема 2 (2-й признак сравнения). Пусть функции и непрерывны и неотрицательны на и – их общая особая точка. Если при эти функции эквивалентны, то несобственные интегралы
и
сходятся или расходятся одновременно.
В качестве эталонного интеграла 2-го рода берут интеграл вида
,
который сходится при , и расходится при .
Примеры. 1. .
При (0 – особая точка) . Кроме того на . Т.к. интеграл

расходится, то и данный интеграл также расходится.
2. . Особая точка: .
Прежде всего, разложим подкоренное выражение на множители:
.
Теперь нетрудно получить при оценку

= .
Интеграл сходится как эталонный, следовательно сходится и данный интеграл.