Тема несобственные интегралы

I Интегралы от положительных функций
Пусть на ^. Тогда определенный интеграл как функция верхнего предела есть функция возрастаю-щая (это следует из общих свойств определенного интеграла).
Теорема 1. Несобственный интеграл 1^го рода от неотрицательной функ-ции сходится тогда и только тогда, когда функция остается ограниченной при увеличении .
Эта теорема – следствие общих свойств монотонных функций. Практического смысла теорема почти не имеет, но позволяет получить т.н. признаки сходимости.
Теорема 2 (1-й признак сравнения). Пусть функции и непре-рывны на и удовлетворяют неравенству . Тогда:
1) если интеграл сходится, то и сходится;
2) если интеграл расходится, то и расходится.
Доказательство. Обозначим: и . Так как , то . Пусть интеграл сходится, тогда (в силу теоремы 1) функция ‒ ограничена. Но тогда и ограничена, а значит, интеграл тоже сходится. Аналогично доказывается и вторая часть теоремы.
Этот признак не применим в случае расходимости интеграла от или сходимости интеграла от . Этот недостаток отсутствует у 2-го признака сравнения.
Теорема 3 (2-й признак сравнения). Пусть функции и непрерывны и неотрицательны на . Тогда, если при , то несобственные интегралы и сходятся или расходятся одновременно.
Доказательство. Из условия теоремы получим такую цепочку равно-сильных утверждений:
, ,
.
Пусть, например, . Тогда:
.
Применим теорему 2 и свойство 1) из §1 и получим утверждение теоремы 3.
В качестве эталонной функции, с которой сравнивают данную, высту-пает степенная функция , . Предлагаем студентам самим доказать, что интеграл

сходится при и расходится при .
Примеры. 1. .
Рассмотрим подынтегральную функцию на промежутке :
, .
Интеграл сходится, ибо . По 2-му признаку сравнения сходится и интеграл , а в силу свойства 2) из §1 сходится и исход-ный интеграл.
2. .
Так как , то cуществует такое, что при . Для таких значений переменной:
.
Известно, что логарифмическая функция растет медленнее степенной, т.е.
,
а значит, начиная с некоторого значения переменной, эта дробь меньше 1. Поэтому
.
Интеграл сходится как эталонный. В силу 1-го признака сравнения сходится и . Применяя 2-й признак, получим, что и интеграл сходится. И снова свойство 2) из §1 доказывает сходимость исходного интеграла.