Тема несобственные интегралы

– –

1-ТЕМА. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
1-лекция
В теме «Определенный интеграл» было рассмотрено понятие определенного интеграла для случая конечного промежутка и ограниченной функции (см. теорему 1 из §3). Теперь займемся обобщением этого понятия для случаев бесконечного промежутка и неограниченной функции. Необходимость такого обобщения показывают, например, такие ситуации.
1. Если, используя формулу для длины дуги, попытаться вычислить длину четверти окружности , , то придем к интегралу от неограниченной функции:
, где .
2. Пусть тело массой движется по инерции в среде с силой сопротивления , где — скорость тела. Используя второй закон Ньютона ( , где ускорение), получим уравнение: , где . Нетрудно показать, что решением этого (дифференциального!) уравнения является функция Если нам потребуется вычислить путь, пройденный телом до полной остановки, т.е. до момента, когда , то придем к интегралу по бесконечному промежутку:

. Несобственные интегралы 1-го рода
I Определение
Пусть функция определена и непрерывна на промежутке . Тогда для любого она интегрируема на промежутке , то есть существует интеграл .
Определение 1. Конечный или бесконечный предел этого интеграла при называют несобственным интегралом 1-го рода от функции по промежутку и обозначают символом . При этом, если указанный предел конечен, то несобственный интеграл называют сходящимся, в противном случае ( или не существует ) – расходящимся.
Итак, по определению

(1)

Примеры
1. .
2. .
3. – не существует.
Несобственный интеграл из примера 1 сходится, в примерах 2 и 3 интегралы расходятся.