Тема несобственные интегралы

. Гамма-функция Эйлера
Если функцию двух переменных проинтегрировать в некото-ром промежутке по одной из переменных, например, по , то полученный определенный или несобственный интеграл будет являться функцией другой переменной. Такие интегралы называют интегралами, зависящими от параметра.
Гамма-функция Эйлера – это несобственный интеграл вида
.
Эта функция, после элементарных, является одной из важнейших для математического анализа и его приложений.
Если , то интеграл, который определяет функцию , имеет две особые точки: и . Разобьем этот интеграл на сумму двух:
.
Известно, что при . Значит, для достаточно больших значений имеет место неравенство . Пусть , тогда для подынтегральной функции в интеграле (1-го рода) будем иметь:
.
Но интеграл сходится как эталонный, следовательно, и интеграл сходится, причем для любого .
Для той же функции , но в интеграле (2-го рода), при имеем:
.
Интеграл , а с ним и интеграл , сходится при , т.е. при .
Итак, окончательно, гамма-функция определена для .
Выведем рекуррентную формулу для функции . Заметим, что интеграл, определяющий , – 1-го рода. Имеем:


.
Кроме того,
.
Итак, и . Нетрудно заметить, что для Таким образом, функция является обобщением (на область любых ) факториала.