Тема несобственные интегралы

II Интегралы от знакопеременных функций
Для таких функций наряду с интегралом рассматривают интеграл .
Определение. Несобственный интеграл называют абсолют-но сходящимся, если сходится интеграл .
Например, сходится абсолютно, ибо , интеграл сходится, и также сходится (1-й признак сравнения).
Теорема 4 (признак абсолютной сходимости). Если несобственный интеграл сходится абсолютно, то он просто сходится.
Доказательство. Рассмотрим еще две неотрицательные функции:


Нетрудно заметить, что , а . Введем обозначения:


Так как функции , и неотрицательные, то функции , и – возрастающие. Кроме того, и . Далее, используя теорему 1, получим цепочку следований:
сходится абсолютно сходится функция ограничена и ограничены
и сходятся существуют конечные пределы и существует и конечен , т.е. данный интеграл сходится. Теорема доказана.
Заметим, что из сходимости не следует сходимость интеграла .
Пример 3.
Для модуля подынтегральной функции можно написать

Интеграл сходится как эталонный, сходится по одному из свойств, сходится по 2-му признаку сравнения, сходится по 1-му признаку сравнения, исходный интеграл сходится по признаку абсолютной сходимости.
Примем без доказательства еще один признак.
Теорема 5 (признак Дирихле). Пусть – непрерывная, дифферен-цируемая функция, которая монотонно стремится к 0 при , а функ-ция имеет ограниченную первообразную. Тогда интеграл

сходится.