Тема несобственные интегралы

Пример 4.
В этом интеграле , а . Условия признака Дирихле выполнены, следовательно, интеграл сходится.
Покажем, что интеграл от расходится. Проинтегрируем по промежутку очевидное неравенство
:

(1)

Для интегралов в правой части неравенства найдем пределы при :
,
существует и конечен, ибо сходится по приз-наку Дирихле. Итак, левая часть неравенства (1) имеет пределом , следовательно и
.
Задачи. 1. Исследовать на сходимость интеграл .
2. Вычислить предел .
Несобственные интегралы 2^го рода
I Одно свойство определенного интеграла
Известно, что, если функция непрерывна на отрезке , то интеграл с переменным верхним пределом является функ-цией дифференцируемой, следовательно, и непрерывной. Непрерывность же означает, например такое: . Другими словами:

.

(1)

Аналогично и для нижнего предела интегрирования:

.

(2)

Это свойство необходимо, например, в такой ситуации. Функция имеет в нуле разрыв, который можно устранить (ибо ) и сделать её непрерывной на отрезке . Первообразную этой функции можно найти интегрированием по частям: . Но как воспользоваться формулой Ньютона – Лейбница для интеграла , ведь ? Здесь используют свойство, выражаемое формулой (2):

Раскрывая неопределенность типа , получим значение .
Именно формулы (1) и (2) берут в качестве определения интеграла от функции, которая не является ограниченной в точке или .