\
f(x)dx
integrating yaqinlashuvchiligi kelib
a
chiqadi. ♦
-K
n
11.18-ta’rif. Agar j 1
f(x ) \
dx
xosmas integral yaqinlashuvchi boMsa, u holda
a
-ко
j f ( x)dx absolyut yaqinlashuvchi xosmas integral
deyiladi,
f(x)
funksiya esa
a
[а;-ь») oraliqda
absolyut integrallanuvchi funksiya
deb ataladi.
-ко
+11.19-ta’rif.
Agar
j
f(x)dx
yaqinlashuvchi
boMib,
||/(x)|dx
a
a
+oo
uzoqlashuvchi bo'lsa, u holda
j f(x)dx
xosmas integral
shartli yaqinlashuvchi
a
deyiladi.
+oo
11.20-misol. J —
Y~dx
integralni yaqinlashishga tekshiring.
i
x
■Ь» I g in ^ I
I g •
I
J
Yechish. Awal f
— ,—dx
integralni tekshiramiz. (l;+oo) da S-ln,X < — va
\
X
x2
X-
7 1
w | •
I
j
—jix
yaqinlashuvchi boMganligi sababli, 11.14-xossaga ko'ra [ S‘nx
'dx
i X
'
Y*
289
integral yaqinlashuvchi boMadi. Demak, [ —
1
Л
boMadi.
b
Yuqondagi xossalami
J /
(x)dx
integral uchun ham bayon qilish mumkin.
-on
4-§. Xosmas integrallarni hisoblash
Endi xosmas integrallarni hisoblash bilan shug‘ullanamiz.
a) Nyuton - Leybnits formulasi. Faraz qilaylik,
f(x)
funksiya [a;+oc) da
uzluksiz boMsin. Xosmas integral ta’rifi hamda Nyuton - Leybnits formulasidan
■foo
t
f /
(x)dx
= lim f
f(x)dx
= lim (F(r) -
F(a))
J
Г-И-с*.
J
/-ЖЮ
a
a
kelib chiqadi, va bunda
F(x)
funksiya
f(x)
ning boshlangMch funksiyasi boMadi. Agar
/->+со da
F(t)
ning limiti chekli boMsa, bu limitni
F(t)
ning
+00
dagi qiymati deb
qabul qilishimiz mumkin, ya'ni
lim
F(t)=F(+ao).
!-►+00
Bundan esa
,f(x)
funksiya xosmas integrali uchun Nyuton-Leybnits formulasi
o‘rinli boMishi kelib chiqadi:
-b«
j /
(x)dx =F(+
00
) -F(a) =F(x)
a
b) BoMaklab integrallash. Aytaylik,
u(x)
va
v(x)
har biri
[a;+oo
) da uzluksiz
u ’(x)
va
v'(x)
hosilalarga ega boMsin. Agar [ v
(x)du(x)
xosmas integral
a
yaqinlashuvchi hamda
lim
u(t)
= w(-foo), lim v(Y) = v^+oo)
I-*+<£>
(-
mlimitlar chekli boMsa, u holda (
и (x)dv(x)
ham yaqinlashuvchi boMadi va
a
290
+ои
-КО
|
и (x)dv(x) =(u(x)v(x))
| -
J
v (x)du(x).
a
a
+
CO
11.21-misol J
xe~xdx
xosmas integralni hisoblang.
о
Yechish. Bo'laklab integrallash usulidan foydalanamiz. U holda
u(x)= x, dv(x)=e~xdx, du(x)=dx, v(x) =~ex, (u(x)v(x))\ =
lim
(-xe'x)=-
lim
• О
X —►+<»
X —
M-QO
+OC
+00
— =0, f
v(x)du{x)
= f
(~e~x)dx
= lim
e'r[ -0-
1=-1 boMadi va demak,
c/X
J
J
f—►+oc
10
e
0
0
+00
J
xe~*dx
=0-(-l)=l.
и
с) 0 ‘zgaruvchini almashtirish. Aytaylik,
f(x)
funksiya [a;+oo) da berilgan
+00
boMsin. Quyidagi
j /
(x)dx
integralda
x=
almashtirish kiritamiz. Bunda
a
(1)
funksiya [a;+oo) da berilgan va uzluksiz
hosilaga ega;
(2)
(p(t)
funksiya [a;+oo) da qatMy o'suvchi;
(3)
= +3c
bo'lsin.
t
—moo
+co
+00
U
holda
|
f(q>(t))
yaqinlashuvchi
bo'lishidan
J
f(x)dx
a
a
yaqinlashuvchiligi hamda
+or.
+ cn
J
f{x)dx=
|
f((p(t))(p'(t)dt
a
a
tenglik o'rinli bo'lishi kelib chiqadi.
Mashq va masalalar
11-1. 20-23 -xossalami isbotlang.
291
11-2. Agar /а+
fix )d x
va /а+°°
uzoqlashuvchi bo‘lsa, u holda
/a+0°Cf(*) i
uzoqlashuvchi bo‘ladimi? Ko‘rsatma.[l;+
00
) oraliqda
fix )
=
= —•^■funksiyalami qarang.
11-3. Agar
fa °°
/
(x)dx
yaqinlashuvchi, Ja+°°
uzoqlashuvchi bo‘lsa,
u holda /а+
(fix )
±
(pix))dx
yaqinlashuvchi bo‘ladimi?
11-4.
fix )
funksiyaning (-
00
;
b]
oraliqdagi
xosmas integrali ga.
ta’rif bering.
Xosmas integrating qiymatini toping yoki uning
uzoqlashuvchi ekanligini
ko'rsating (5-14).
11-5 J 0+”
e - ’ dx.
11-6.
{J*xe~*‘ dx.
• +®
dx
, 1 0
f+oo
dx
u - 8 ./er . ......
"-Kir
A -
ll- ll./ 0
*2xsinxdx.
11-12./°^*
exdx.
11 -13.J+0D-T-£— .
11-14 Г+°°2
e ~ ^ d x .
J - x2+6x+12
JO
Xosmas integralni yaqinlashishga tekshiring (15-22):
11-16
C
^ d x .
1
l-17 /n+0°
e~4x
cos2x
dx.
11-18 f +” In
^ d x .
0
x2+2
>1-20
f ' - ^ d x .
11-21
j r ^ m - d x
11
-
22
. / + ° ° —
~r~-
V2+*3
•'l
x+coszx
5-§. Chegaralanmagan funksiyaning xosmas integrali
Aniq integral mavjudligining zaruriy sharti integral ostidagi funksiyaning
chegaralanganligi edi.
End
\f(x)
funksiya
[a;b]
da chegaralanmagan bo‘lsin. Aniqrog‘i, ixtiyoriy £->0,
(e
uchun
f(x)
funksiya
[a;b-s\
da chegaralangan va integrallanuvchi bo‘lib,
b
292
nuqtaning atrofidagina chegaralanmagan boMsin. Bu holda
b
nuqta
ffx)
funksiyaning
maxsus nuqtasi
deb ataladi.
I
Demak, ixtiyoriy
t (a
uchun
J
f (x)dx
integral mavjud bo‘lib, u faqat
t
a
o'zgaruvchining funksiyasi boiadi:
t
| /
(x)dx =F(t), a
a
11,22-ta’rif.
F(t)
funksiyaning
t->b-0
dagi limit holatiga chegaralanmagan
ь
f(x)
funksiyaning
[a;b)
oraliqdagi xosmas integrali deyiladi va u J /
(x)dx
kabi
ct
belgilanadi.
Agar
t->b-Q faF(t)
funksiyaning limiti mavjud bo‘lib, u chekli boMsa, xosmas
integral yaqinlashuvchi deyiladi,
ffx)
funksiya esa
[a;b)
da integrallanuvchi funksiya
deb ataladi.
b
Agar
t->b-
0 da
F(t)
funksiyaning limiti cheksiz boMsa,
J
f (x)dx
xosmas
a
integral uzoqlashuvchi deyiladi. Yuqorida limit mavjud boMmagan holda ham biz
xosmas integralni uzoqlashuvchi deymiz.
Demak,
ь
t
|/
(x)dx =
lim
F(t)
= lim J /
(x)dx
a
a
Xuddi
yuqoridagidek,
a
nuqta
f(x)
ning maxsus nuqtasi boMganda
{a;b]
oraliq
bo‘yicha xosmas integral ta’riflanadi.
f(x)
funksiya
(a;b]
oraliqda berilgan boMib,
a
nuqta shu funksiyaning maxsus
nuqtasi boMsin. Bu funksiya (
a;b
] ning istalgan [/;b] (
a
) qismida
integrallanuvchi, ya’ni ushbu
ь
\f(x)dx =F(t)
t
integral mavjud boMsin.
293
ь
f(x)
funksiyaning
(a; b]
oraliqdagi xosmas integrali deb ataladi va u J /
(x)dx
kabi
a
belgilanadi.
*
Agar
t
—» a+0 da
F(t)
funksiyaning limiti mavjud va chekli bo'lsa, j"
f(x)dx
a
xosmas integral yaqinlashuvchi,/^ esa (
a;b
] da integrallanuvchi funksiya deyiladi.
b
Agar
t—> a 0
da
F(t)
ning limiti cheksiz bo'lsa, u holda J
f(x)dx
xosmas integral
a
uzoqlashuvchi deyiladi. Yuqoridagi limit mavjud bo'lmagan holda ham biz
integralni uzoqlashuvchi deymiz.
Demak,
b
b
I /
(x)dx =
lim
F(t)=
lim [/
(x)dx.
J
f—►л+О
/—>a+0 J
t
Agar
f(x)
funksiya
[a;b]
kesmaning biror ichki
с
nuqtasida lim /(x) = oo
Jf-K’
bo'lsa, u holda aniq integralning additivlik xossasiga o'xshash integralni ikkita
integrating yig'indisi ko'rinishda ifodalaymiz:
Ь
с
b
с
b
J /
(x)dx
= J
f(x)dx
+ J
f(x)dx =
lim J / (
x)dx +
lim J / (
x)dx.
а
а
с
а
г
Agar tenglikning o'ng tomonidagi limitlar mavjud bo'lsa, u holda xosmas
integral yaqinlashuvchi deyiladi, aks holda uzoqlashuvchi deyiladi.
Geometrik nuqtai nazardan chegaralanmagan funksiyaning xosmas integrali
y=f(x)
egri chiziq, y=0,
x=a, x=b
to'g'n chiziqlar bilan chegaralangan va
Do'stlaringiz bilan baham: 
