|
aAiBib
to'g'ri to'rtburchakning yuzi
m(b~a)
ga,
to 'g‘ ri
272
to‘ rtburchakning yuzi
M(b-a)
ga teng. (2) tengsizlikdan egri chiziqli trapetsiyaning
yuzi birinchi to'g'ri to‘ rtburchak yuzidan kichik emas, ikkinchi to'g'ri to‘ rtburchak
yuzidan katta emasligi kelib chiqadi.
10.26-misol
| 7 9 +
x'dx
integralni baholang.
0
Yechish.
[0; 1 ]
kesmada
9<9
+ л“ <Л0
tengsizlik
o ‘ rinli.
Bundan
3<.\j9+ x
2
ekanligi
kelib
chiqadi.
(2)
formulaga
ko'ra
i ____
i ____
3(1 - 0) £ J V 9 + x 2
cbc
< VlO(l ~ 0) yoki 3 < J
yj9 + x
1
dx <
VTo
о
0
1
1
10.27-misol.
j
xdx
va
J
x3dx
integrallami solishtiring.
о
0
1
1
Yechish.
[0; 1 ] kesmada
X>X
bo'lganligi sababli
jx d x > jx 3dx
bo'ladi.
о
0
8-§. 0 ‘rta qiymat haqidagi teoremalar
10.28-teorema
Agar
f(x)
funksiya
[a;b]
kesmada uzluksiz bo'lsa, u holda bu
kesmada shunday
с
nuqta topiladiki,
b
\f(x)dx=f(c)(b-a)
(1)
a
1
tenglik o'rinli bo'ladi.
Isbot.
0
f(x)
funksiya
[a;b]
kesmada
м у
В
integrallanuvchi. Demak
10.25-xossaga
A
—
ь
ko'ra
m(b-a)<
J
f(x)dx
tengsizlik
a
----
!LI
------------------
b
%
------
9-
С
o'rinli. Bundan
273
J / ( x ) c f c
m <
- --------- <
M
62-rasm
b — a
tengsizlik hosil boMadi. Endi Bolsano-Koshi teoremasiga (4.27-teorema) asosan
[a;b]
kesmada shunday
с
nuqta topiladiki,
b
J/(x )< &
f(c)= л—
-------, yoki
b — a
boMadi. ♦
Bu tenglikning mohiyati quyidagicha: / ( x ) > 0 boMganda tenglikning chap
tomoni egri chiziqli trapetsiyaning yuzini, o ‘ng tomoni
f(c)(b-a)
ifoda esa to‘g ‘ ri
to‘rtburchak yuzini ifoda qiladi (62-rasm).
Demak,
y=f(x)
funksiyaning grafigida shunday
M(c;/(c))
nuqta mayjudki,
tomonlarining uzunliklari
f(c)
va
b-a
boMgan to‘ g ‘ri to‘rtburchakning yuzi
yuqoridan
у =f(x)>
0
,
quyidan O xo 'q bilan v a x = a ,
x=b
vertikal to‘g ‘ri chiziqlar bilan
chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuziga teng boMadi. Boshqacha aytganda,
f(x)
funksiyaning
[a;b]
da qabul qiladigan barcha qiymatlarining o ‘ rta arifmetigi
f(c)
ga teng boMadi, y a’ni
(
2
)
a
Bunda /(^-berilgan
f(x)
funksiyaning
[a;b]
kesmadagi
о rta qiymati
deyiladi.
10.29-misol.
f ( x )
= — funksiyaning [1 ;2] kesmadagi o ‘rta qiymatini toping.
x
1 2
И
Yechish. (2) formulaga ko‘ra / ( c ) = - — j | ~ = In |
jc
||“ = ln 2 - l n l = ln 2 ,
demak, funksiyaning o ‘rta qiymati ln2 ga teng ekan.
10.30-teorema Agar
[a;b]
da
f(x)
va
lar uzluksiz,
0 (yoki <0)
boMsa, u holda
[a;b]
da shunday
с
nuqta topiladiki,
ь
b
J / ( * )
J
(p (x)dx
(3)
a
a
274
b
\f(x)dx=f(c)(b-a)
b
b
Isb o t 0
f(x)
va
q>(x)
uzluksizligidan
J
f{x)
j
"(p (x)dx
integrallar
a
a
mavjud bo'ladi. Veyershtrass teoremasiga ko'ra, sup
f(x)=M,
in f
f(x)=m
lar mavjud
[a.b\
М Г
va
m^f(x)
) > 0 bo'lgani uchun
m
kelib chiqadi. U holda
b
ь
b
mj
|
f(x ) (p(x)dx < M
J
a
a
a
Bu yerda ikki hoi bo'lishi mumkin.
f
A
I-hol:
\(p(x)dx
=0
bo'lsin. Ravshanki, bu holda so'ngi tengsizlikdan
J / (
x)
a
a
(p(x)dx
=0 kelib chiqadi va (3) tenglik o'rinli bo'ladi.
b
b
\f(x)
II-hol:
j
0
bo'lsin. U holda
m ^ ~ k
------------<
M
tengsizlik o'rinli.
\
a
[a;b]
da
f(x)
funksiya uzluksiz bo'lgani uchun shunday
с
nuqta topiladiki,
b
\f{x)
o ' r i n l i b o ' l a d i .
Ь
|
(p(x)dx
’ - / ( c ) bo'ladi. Bu tenglikdan (3) tenglik kelib chiqadi. ♦
9-§. Yuqori chegarasi o‘zgaruvchi bo‘lgan aniq integral
f(x)
funksiya
[a;b]
da uzluksiz bo'lsin. U holda bu funksiya har qanday
X
[(
a;x]a[a;b
] da integrallanuvchi bo'ladi va
\ f ( t ) d t
integral x ning
[a;b]
dagi har bir
a
qiymati ga aniq bir sonni mos qo'yadi. Demak, bu holda integral o'zining yuqori
chegarasining funksiyasi bo'ladi:
275
Ф(х)
=
J /
(/)с//,
a
X
Geometrik
nuqtai
nazardan
f(t)>
0
boMganda
Ф(х)
funksiya 63~rasmdagi egri chiziqli
trapetsiyaning
bo'yalgan
qismining
yuzini
bildiradi.
Ф(х)
funksiyaning
x
bo'yicha, ya'ni aniq
in tegratin g yuqori chegarasi bo'yicha hosilasini topamiz.
63-rasm
10.31-teorema.
Uzluksiz funksiya aniq integralining yuqori chegarasi
bo'yicha hosilasi mavjud va u integral ostidagi funksiyaning yuqori chegarasidagi
qiymatiga teng:
= / ( * )
Isb o t
0
x, x+Axe [a;b]
lar uchun
ЛФ(х)=Ф(х+Лх)-Ф(х)=
jr+Дх
x
x
х+Д г
x
х+Дх
\
\
/ ( » ) < * =
\ f(<)d!
bo'ladi.
a
a
a
x
a
x
0 ‘ rta qiymat haqidagi teoremaga ko'ra shunday £ е [ х ;х + Д х | topiladiki, bu
nuqtada
х+Дх
|
f(t)dt=f(& A x,
ya’ni
ЛФ(х)=/(
4
)Лх
АФ(Х)
o ‘ rinli bo'ladi. Bundan ----- — = / ( £ ) kelib chiqadi. A x-*0 da i;->x va
ffx)
ning
Ax
. . . .
ДФ (х)
uzluksizligini nazarda tutsak,
Ф'(х)
= lim -------- = lim / ( £ )
=f(x)
hosil bo'ladi.
Ax-»0 Дх
Shunday qilib, Ф '(х ) = ( / *
f ( t ) d t )
= / ( x ) .
Bu tenglik [
a;b]
da uzluksiz boMgan
f(x)
funksiyaning boshlangMch funksiyasi
Ф(х)
mavjud ekanligini ko'rsatadi. ♦
276
10.32-miso! Ф (х ) = jsin/c// funksiya hosilasini toping.
з
Yechish.
Yuqoridagi teoremaga ko‘ ra Ф '( * ) =
sinx
bo'ladi.
10.33-misol.
Ф
(x )= je 'd t
funksiya hosilasini toping.
i
Yechish.
Bu holda yuqori chegara x ning funksiyasidan iborat, shu sababli
murakkab funksiyani differensiallash qoidasidan foydalanamiz:
Ф \х ) = ех
1
-(х
2
У =
2
хех\
10-§. Nyuton - Leybnits formulasi, aniq integralni hisoblash
Nyuton - Leybnits formulasi.
Aniq integral bilan boshlang'ich funksiya
orasida qanday bog'lanish mavjudligini ko'rib o'taylik.
Aytaylik,
f(x)
funksiya
[a;b]
da uzluksiz va
F(x)
uning boshlang'ich
funksiyalaridan bin bo'lsin:
F '(x
) = / ( * ) . Yuqoridagi mulohazalarga ko'ra
X
a
ham
f(x)
ning boshlang'ich funksiyasi bo'ladi. U holda m a’ lumki,
C=const.
Demak, / *
f ( t ) d t
=
F (x
) +
C.
Bunda
x=a
deb olsak, 0 = F ( a ) + C, yoki
С
= —F ( a ) kelib chiqadi. Demak,
=
F(x) — F(a).
Endi
x=b
deb olsak,
b
J f(t)dt =
F(b) - F(a)
(
1
)
a
bo'ladi, у a ni
[a;b] kesmada uzluksiz bo'lgan funksiyaning aniq integrali shu
funksiyaning boshlang ich funksiyalardan birortasining bu kesmadagi orttirmasiga
teng
bo'ladi.
277
(1) formula integral hisobning asosiy formulasi boMib, u
Nyuton- Leybnits
formulasi
deyiladi.
(1) tenglikning o ‘ng tomonidagi
F(b)-F(a)
ayirma, odatda F (x )[ ko‘ rinishida
yoziladi. Bu holda Nyuton-Leybnits formulasi quyidagicha yoziladi:
b
j f ( t ) d t
=
F(x)\a
=
F(b)
—
F(a).
a
Nyuton-Leybnits formulasi aniq integralni hisoblash masalasini aniqmas
integralni hisoblash m asalasiga olib keladi.
10.34-misol. Amq integrallami hisoblang: a)
b) / * (
1 + sin x )d x ;
с>/»5 7 Ш ' d)
e~
2
xdx.
U
2
Yechish. a) j —с/лг=/лг|дг)
=ln2-lnl=ln2;
i
Do'stlaringiz bilan baham: | 
