T u r g u n b a y e V r I s k e L d I m u s a m a t o V ic h matematik analiz

x
П
b) 
j{l+ sin x )d x =  (x-cosx)\*  =(n-cosn)-(
0
-cos
0
) = я +
1
+ l^ n +
2
;
0
5
 
dx 
5
 
— 
5
c)  f  / 
=   f (4 +  
x)~*d(4
 +  x) =  2 ^ 4  +  у I  =  2 (>/9- 7 4 )  =  2;
0 v 4  +  x 
J0
 
b
d) 
\ e - 2ldx = - - e - lx\
 
= - I (e° - e2) 
=  —
.
_J, 
2 
L' 
2 
2
10.2. 
Aniq  integralni  bo‘ laklab  integrallash.  Nyuton-Leybnits formulasiga 
ko‘ ra  aniq  integral  bilan  aniqmas  integral  orasida  bogManish  mavjud.  Shu  sababli 
boMaklab  integrallash  usulini  aniq  integrallami  hisoblashda  ham  tatbiq  qilish 
mumkin.
Faraz  qilaylik, 
u(x)
  va 
v(x)
  funksiyalar 
[a;b]
  da  uzluksiz  hosilalarga  ega 
boMsin.  U  holda
(u v)  - u
 V+ 
uv
boMib, 
u(x)v(x)
  funksiya 
u ’(x)v(x)+u(x)v '(x)
  uzluksiz  funksiyaning  boshlangMch
b
funksiyasi  boMadi.  Nyuton-Leybnits formulasiga kolra 
J  
(uv
 + 
uv)dx
 = (wv)|*.
a
278

---

Bundan 
^ u V d x -
 (wv)|*  -  
^u'vdx
  kelib  chiqadi.  S o ‘ngra 
uvdx=udv
  va
a 
a
и  vdx=vdu
 ekanligini  e’ tiborga olsak,  natijada
b 
b
J  
udv = (j
4
v)fa- j v d u
 
(2)
a 
a
aniq integralni bolaklab integrallash formulasi
 hosil boMadi.
* 7 2
10.35-misol. 
J  
xcosxdx
  integralni hisoblang.
0
Yechish. 
Bunda 
u= x,  dv=cosxdx
  deb  olsak, 
du=dx,  v=sinx
 hosil  bo‘ ladi. 
Demak,  (2) ga ko‘ ra
я/2 
я/2
|   ^rcos JKc/xr= (  jrsin Jt)|^ 
J  
sin 
xdx = — +
 cos 
x я
/2
  ft 
r\  ft
 — 2
„  = ---- cosO = -------
10.3. 
Aniq  integralda  o‘zgaruvchini  almashtirish. 
A ytaylik,/fo)  funksiya 
[a;b]
  kesmada aniqlangan va uzluksiz bo‘ lsin.
10.36-teorema. 
Agar 
f(x)
  funksiya 
[a;b]
  da  uzluksiz, 
x=

  funksiya  [<
a;/J]
 
kemada  uzluksiz  differensiallanuvchi, 
x=

  funksiya  qiymatlari  to'plami 
[a;b]
kesmadan  iborat hamda 
(pfa)=a,  (pfp)=b
 boMsa,  u holda
ь 
p
|  
JXx)dx
 =  J  
f(

 
(3)
a 
a
tenglik  o ‘rinli  bo‘ ladi.
Isbot. 
0 
ffx)
  funksiya  [
a;b
]  da  uzluksiz  boMgani  uchun  shu  kesmada  u 
boshlangMch  funksiya 
Ffx)
  ga  ega.  Shartga  ko'ra 
(pfa)=a,  

  boMganligi 
sababli Nyuton-Leybnits formulasiga ko‘ ra
r 
p
j  
f(x )d x  = F (b ) - F ( a )  = F(

 = J  
dF(

 =
“ 
a
P 
P
= 
\F \

 =  |  
f((p{t))(p\t)dt.
279

---

Shuni  ta’ kidlash  kerakki,  aniq  integralni  o'zgaruvchilami  almashtirish  usuli 
bilan  hisoblaganda integral  ostidagi  ifoda  bilan  bir  qatorda  integrallash  chegaralari 
ham  o‘ zgaradi.  ♦
i
10.37-misol 
JVT 
- x ' d x
  hisoblang.
о
Yechish. 
Bu  integralda 
x=sint
  almashtirishni  bajaramiz.  U  holda 
x=sint
Я
funksiya yuqoridagi  teoremadagi  barcha  shartlami  [0 ; —]  kesmada qanoatlantiradi 
va 
dx=costdt, a=
0 da 
a=0,
  6=1  d a /?=л/2.  Demak,  (3) formulaga ko'ra
£  
ж 
я
j
y j l - x 2dx =
 |  V l - s i n 2/  cos
tdt
 = jc o s 2 
tdt
 =  | j   — + —c o s
I t
  p  =
0 
0 
0 
0 ^ 2 2  
J
A
 
1  •
= ( - /  + — sin  
It)
2 
4
я
/2
r  dx
10.38-misol. 
 
j=r 
ni  hisoblang.
(J 1 + 
\/X
Yechish.  x = f
  deb  o'zgaruvchini  almashtiramiz,  u  holda 
dx=2tdt
  va a= 0   da 
t/=yfa
  =0, 
b=9
 da 
tf= \fb
 =3  bo'ladi.  (3) formulaga ko'ra
r 
dx
  - I Г— = 2 f Г i ___l _ 'b
О 
*—
+
S
i 1
1 +  r
)  * T * 
0
{
 
l + ( /
x/i
 
С
  COS 
X
10.39-misol. 
—  7 
- dx
  ni hisoblang.
ж / б s m   *
Yechish. 
sinx=t
  deb  almashtirish  bajaramiz.  U  holda 
cosxdx=dt,
tj-sin{n/6)=\/2, t
2
=sin(n/
3
)= -v/ з  /2 bo'ladi.  (3) formulaga asosan
* /3 
.
  Тз/2
-’d t = — L
 
= i | 16_ i ^ | = s
r
  C O SX   , 
,  
1 
43 
I f
 
1 6   \
J 
—т ~ск=
  f  r V / = ---- - 
=  -   1 6 -  —
J
l6
 sm5x
 
J2 
4/  1/2 
4 {  
9 )
Mashq va masalalar
Nuyton-Leybnits formulasidan foydalanib,  aniq integralni  hisoblang ( 1-8 ):
280

---

\ 0 -l.fi(2 x  + sln2x)dx
 
10-2. 
f * z 2x - Sxdx.
10
- S - i r i g d x .
 
10
- 6 . 1 , ' j g d z
1 ° ' 7- 
^
 
1° ' 8-Ji  V 4 x - 2  dx
Trigonometrik  funksiyalaming integrallarini  hisoblang (9-14):
/ 
П
10-9.C  (c o s
3
x - - c o s x )  dx.
 
10-10.  D  
—--------
J °  
V 
4 
)  
J-   sin 2x - s in * x
7 
dx
10-11. 
jn  t g 2x dx.
 
10-12. 
fn
  —
7
 
-   l- c o s
6
x
10-13.  / j * - ^ d x .  
10-14./ 02 c o s3
n
Ratsional  kasrlami  integrallang (15-18): 
г
3
 
d *  
1 n
1 0 - 1 5 . P - f - .  
10-16.
X2+X 
J l   * 3 + * '
10-17./s i ^ d x  
10-18. J,3 -  
-  
.
3  * “ 2 
J 1  x 2+ 6 x + 1 0
0 ‘zgaruvchini  almashtirish usulidan foydalanib hisoblang (19-22): 
Ю-19 
1 0 -2 0 ./1
J 0 
e z + l  
J - 1 V 5 - 4 X
10-21. 
C 6-% = .
 
10-22./7 
d*
x+V x 
J - 1
X + t y x   '  
'  
' ■ ' - 1   1  +  V x + l   '
B o‘ laklab integrallash  usulidan foydalanib hisoblang (23-26):
10-23. 
f ° t x e - xdx.
 
10-24.  /„2 1п(*2 
+  
4)dx.
Ю-25  / ^ d x .  
10-26. 
/Д  9 * 2
1п(дт + 2)d*.
10-27. 
f ( x
)  funksiya  [a ;b ]  da  uzluksiz  boMsin.  U  holda  bu  funksiya  har 
qanday  [x, 
b
]  с   [a, b], a   <   x   <  
b
  kesmada integrallanuvchi  va uning integrali  x ga 
bog  liq  boMadi: 
F(x)  =   fx  f ( t ) d t .
  Bu  quyi  chegarasi  o ‘zgaruvchi  boMgan  aniq 
integral  deyiladi.  F '(x )  ni  toping.
10-28. 
C - d x
  =   In 2  integraldan foydalanib,  lim 
(—
 +  —  H----- h
1 
x
 
n-> oo  V n+1 
n + 2
)  =   In 2  tenglikni  isbotlang.
n + n /
281

---

10-29  Jo 
т Ь  dx
 integraldan 
foydalanib, 
\ m   n
 
+   -  
+
=   ~ tenglikni  isbotlang.
10-30. 
[a, b
]  kesmada uzluksiz bo‘lgan  har qanday 
f ( x
)  funksiya uchun 
ushbu 
f { x ) d x
  =   / j 7 
f ( a
  +  
b  — x )d x
 tenglik  o'rinli  ekanligini  isbotlang.
10-31.  [a, 
b
]  kesmada uzluksiz bo'lgan  har qanday 
f ( x
)  funksiya uchun 
ushbu  / дЬ 
f ( x ) d x   =   (b
  — 
a)
 J 1 / ( a   +   (b  — a ) x ) d x   tenglik o'rinli  ekanligini 
isbotlang.
10-32.  Aytaylik 
f ( x )
  funksiya  [—
I,
 J]  kesmada uzluksiz bo'lsin.  a) agar / ( x )  
funksiya toq bo'lsa,  u holda 
J^(f ( x ) d x
  =   0; b) agar / ( x )   funksiya juft bo'lsa,  u 
holda 
f ( x ) d x   =  
2
 j^ f ( x ) d x
  ekanligini  isbotlang.
282

---

XI  BOB. XOSM AS  IN TEG R A LLA R
[д.Л]  oraliqda  b e r i l g a n / ^   funksiyaning  aniq  integrali  tushunchasini  kiritib 
batafsil  o ‘ rgandik.  Shuni  ta ’ kidlab  o ‘ tish  kerakki,  in te g ra tin g   bayonida oraliqning 
chekliligi  v a
f(x)
 ning chegaralanganligi  bevosita ishtirok  etdi.
Endi  a w a lg i  integral  tushunchasini  m a’ lum  m a'n olarda  umumlashtirish 
imkoniyati  bormikan  degan  savol  tug'uladi.  Albatta,  umum lashtirish  shunday 
boMishi  kerakki,  natijada  Rim an  integralining  asosiy  xossalari  o ‘ z  kuchini  saqlab 
qolsin.  B a ’zi  hollarda  aniq  integral  tushunchasini  cheksiz  oraliqda  aniqlangan 
funksiya yoki chegaralanm agan funksiya uchun u m um lashtirishgato‘ g ‘ ri  keladi.  B iz 
hozir  ana  shunday  um um lashgan  (yoki  xo sm as)  integrallam i  kiritam iz  va 
oMganamiz.
1-§.  Integrallash sohasi  chegaralanmagan xosmas integral
ffx)
  funksiya  [a;+oc)  cheksiz  oraliqda  aniqlangan  boMib,  uning  har  qanday 
[a ;  t]  chekli qism ida integrallanuvchi boMsin, y a ’ ni  ixtiyoriy 
t
  ( t   >   a )   uchun ushbu 
fa f ( x ) d x
  integral  m avjud  boMsin.  Bu  integral  berilgan  / ( * )   funksiya uchun  faqat 
t
  E 
[a,
 + 00) o Lzgaruvchining funksiyasi  boMadi:  F ( t )   =  
J * f(x )d x .
11.1-ta’rif
  F ( t )   =  
f * f ( x ) d x
  funksiyaning 
t
  -> 
+00
  dagi  holatiga 
f ( x )
funksiyaning 
[a;+oo)  oraliqdagi 
xosmas  integrali
  deyiladi  va  u 
\ * ° °