|
- 0 = =
lim f
= lim
(-2-Л ^хЫ
lim
(-2sfT^l
+
2
) =
2
.
J
Ф
_
x
r-n-oJ
ф - х
'-»1-0
Demak, bu integral ham yaqinlashuvchi.
1
11.26-misoI f— integralni yaqinlashishga tekshiring.
^ X
0
Yechish. Ta’rifga ko‘ra
f — =
lim
f — =
lim
1п|лг||’=
lim
( In l
-
In/) = +
00
,
J
r
<-->
0+0
J
Y
(->0+0 1 'if f-*0+0
0
f
X
ya’ni bu xosmas integral uzoqlashuvchi bo‘ladi.
295
11,27-misol. j —--
~ ,a e
Z
, a
integralni yaqinlashishga tekshiring.
a \p — X )
Yechish. Ikki holni qaraymiz. 1-hol. oc*l bo'lsin. U holda
j
77
--
77
= •if
1
{
—— - 7
= - lim f
(b
-
x)~ad(b -x) = -
lim —— ——
}a(b-x)
‘^ i i b - x f
f-*-o
l- a
U b - a )'-*
l[oo,
ar >l .
2-hol. a = l bo'lsin. U holda
dx
dx
[ •
= lim
1
-
7
—— = - lim 1п|Л-х||' = - lim(ln|6-f|-ln|/>-a|)
= +oo.
*
dx
f
а л
Demak, J —— —- integral a < l bo'lganda yaqinlashuvchi, a > l da
uzoqlashuvchi bo'lar ekan.
6
-§. Chegaralanmagan funksiya xosmas integralining xossalari
Quyida maxsus nuqtasi
b
bo'lgan
f(x)
funksiyaning
[a;b)
oraliq bo'yicha
a
olingan
J
f(x)dx
xosmas integralining xossalarini keltiramiz. Bu xossalami maxsus
a
nuqtasi
a
bo'lgan funksiyaning
{a;b]
oraliq bo'yicha olingan xosmas integrallari
uchun ham bayon qilish mumkin.
11.28-xossa.
Agar
funksiyaning
[a;b)
dagi xosmas integrali
yaqinlashuvchi bo'lsa, bu funksiyaning [
c;b
), (
a
) oraliq bo'yicha integrali ham
yaqinlashuvchi bo'ladi. Bunda
b
с
b
I /
(x)dx
=
J
/
(x)dx
+ J /
(x)dx
a
a
с
tenglik o'rinli bo'ladi.
2
%
11.29-xossa. Agar J /
(x)dx va
J<;
p(x)dx
mtegrallar yaqinlashuvchi boMsa, u
a
a
holda ixtiyoriy
a, p
sonlar uchun
b
J
( a
f ( x) ±P
a
integral ham yaqinlashuvchi bo‘lib,
b
b
b
J
(a
f ix )
±
P
=a
J
f(x)dx
±
/? J
q
a
a
tenglik o'rinli bo'ladi.
b
11.30 -xossa. Agar J /
(x)dx
integral yaqinlashuvchi bo‘lib, [
a;b
) da
f(x)>0
a
b
bo1 Isa, u holda J / (
jc
)
c
/
x
>0 boMadi.
a
b
b
11.31-xossa. Agar | /
(x)dx
va
j
integrallar yaqinlashuvchi bo'lib,
a
a
b
b
[a;b)
da
f(x) <
boMsa, u holda
J /
(x)dx < j
bo'ladi.
a
a
11
32-
xossa.
f(x)
va
q>(x)
funksiyalar [
a;b
) da uzluksiz boMib,
b
esa ulaming
maxsus nuqtasi va
0
[
a:b
) bo'lsin. U holda
*
ь
a)
j p (xjdx
yaqinlashuvchi bo'lsa,
j
f (xjdx
ham yaqinlashuvchi boMadi;
a
a
b
b
b) J
/(xjdx
uzoqlashuvchi bo'lsa, jV
(xjdx
ham uzoqlashuvchi bo'ladi.
a
a
Misol tariqasida 11.30-xossaning isbotini keltiramiz. Qolgan xossalar
bevosita xosmas integral va uning yaqinlashuvchiligi ta’riflaridan kelib chiqadi.
Isbot 0 Aniq integrating xossalariga asosan
f(x)20
bo'lsa, ixtiyoriy
te [a,b)
t
uchun
J
f (xjdx
>
0 bo'ladi. Bundan
a
297
J /
(x)dx
= lim j /
(x)dx
<> 0
a
a
ekanligi kelib chiqadi. ♦
Endi chegaralanmagan funksiyaning xosmas integralini hisoblash bilan
shug‘ulanamiz.
a) Nyuton-Leybnits formulasi
Faraz q ila y lik ,/^ funksiya [
a;b
) da uzluksiz boMsin. Ma’lumki, bu holda shu
oraliqda uning boshlangMch funksiyasi
F(x)
mavjud boMadi.
Agar
x->b-0
da
F(x)
ning chekli limiti mavjud boMsa, bu limimi
Ffx)
ning
b
nuqtadagi qiymati deb qabul qilamiz, ya’ni lim
F(x)=Ffb).
x—W>—0
Xosmas integral ta'rifi hamda aniq integrallar uchun Nyuton-Leybnits
formulasidan foydalanib,
b
t
J /
(x)dx=
lim j /
fx)dx=
lim
(F(t)-F(a)) =F(b)-F(a) =F(x)
| *
a
a
ni topamiz. Bu esa, yuqoridagi kelishuv asosida,/^ funksiyaning xosmas integrali
uchun Nyuton - Leybnits formulasi o‘rinli boMishini ko‘rsatadi:
ь
J
/
(x)dx -F(b)-F(a).
a
b) BoMaklab integrallash
u(x)
va
v(x)
funksiyalaming har biri
[a;b)
da uzluksiz
и '(x)
va v
'(x)
hosilalarga
ega,
b
nuqta esa
v(x)u '(x)
hamda
u(x)v’(x)
funksiyalaming maxsus nuqtasi boMsin.
ь
Agar J v
(x)du(x)
xosmas integral yaqinlashuvchi hamda ushbu
lim u(t)v(t)
t
—
^”0
a
b
limit chekli boMsa, u holda J
и (x)dv(x)
xosmas integral ham yaqinlashuvchi boMib,
7-§. Chegaralanmagan funksiyaning xosmas integralini hisoblash
298
J
и (x)dv(x) =(u(x)v(x)) \
b -
J
v
(x)du(x)
a
a
tenglik o'rinli bo'ladi. Bunda
u(b)v(b)=
lim «(040-
t-*b~ 0
c)
0
‘zgaruvchini almashtirish
f(x)
funksiya [
a;b
) da berilgan bo'lib,
b
uning maxsus nuqtasi bo'lsin.
ь
|/
(x)dx
xosmas integralni qaraylik. Ushbu integralda
x=
almashtirish
a
bajaramiz, bunda
(p(t)
funksiya [a;/?) oraliqda uzluksiz
q> (t)
>
0
hosilaga ega hamda
p
lim
=
Bu holda agar
^ f (cp{t))
xosmas integral
a
b
yaqinlashuvchi bo'lsa, J /
(xjdx
xosmas integral ham yaqinlashuvchi bo'ladi va
a
b
P
\f (x)dx
==
\f{
a
a
t^g lik o'rinli bo'ladi.
Yuqorida biz maxsus nuqtasi
b
bo'lganyfol funksiyaning
[a:b)
oraliq bo'yicha
olingan xosmas integralini hisoblash usullarini ко'rib o'tdik. Bu usullami maxsus
nuqtasi
a
bo'lgan funksiyaning (
a;b]
oraliq bo'yicha olingan xosmas integralini
hisoblashda ham qo'llash mumkin.
l
,
11.33-misol.
1=
I -----
7=
ni hisoblang.
Jo 0 + ^
Yechish.
Ushbu integralda
x =
almashtirishni bajaramiz. Ravshanki,
i
p(t)
funksiya (0; 1 ] oraliqda
q> (t)-2t>0
uzluksiz hosilaga ega hamda
(p(\) = \
.
Demak,
Chegarasi cheksiz bo'lgan xosmas integraldagi kabi chegaralanmagan
funksiyaning xosmas integrali uchun ham absolyut yaqinlashish tushunchasini
kiritish mumkin.
(
a;b
] da aniqlangan va
a
nuqta maxsus nuqtasi boMgan
f(x)
funksiya uchun
f
b
J
\f(x)\dx
yaqinlashuvchi bo'lsa, J /
(x)dx
absolyut yaqinlashuvchi xosmas integral
a
a
deyiladi,/(x) funksiya esa
(a;b]
da absolyut integrallanuvchi funksiya deb ataladi.
Mashq va masalalar
Xosmas integrating qiymatini toping yoki uning uzoqlashuvchi ekanligini
ko'rsating (23-26):
n -24'/.3vfe -
"-"■ tfsS ir
1
1-26. f 4
-
2
(x-W
J2 V f f Z ^
Xosmas integralni yaqinlashishga tekshiring (27-30):
" •2 7
f ^ d x
11-28 . £ £ § * .
300
X II BOB. ANIQ INTEGRALLARNING TATBIQLARI
l-§. Yuzani hisoblash formulalalari
Faraz qilaylik,
x=a, x=b, y=0
to‘g‘ri chiziqlar va
y=f(x)
nomanfiy uzluksiz
funksiya grafigi bilan chegaralangan
D
tekis figura berilgan bo'lsin. Biz shu
figuraning yuzini hisoblaymiz. Buning uchun
[a;b]
kesmaning biror
r„
boMinishini
olamiz:
a=x0
f(x)
ning
kesmadagi eng kichik va eng katta qiymatlari mos ravishda
ntk
va
Mk
boMsin. Har bir [.**./,**] ga mos, asosi shu kesmadan iborat boMgan,
balandliklari
esay=mk vay=Mk
boMgan ikkitadan to‘g‘ri to'rtburchaklar yasaymiz
(66-rasm).
Barcha to‘rtburchaklaming kichiklaridan (balandliklari
nik)
iborat boMgan
ko'pburchak
D
figuraga ichki chizilgan ko'pburchak boMib, katta to'rtburchaklardan
iborat ko'pburchak tashqi chizilgan boMadi. Ulaming yuzlari mos ravishda
66-rasm
a
= S
m^ k
=
£ (ГЛ <*' = Y ,M *Axt
=
t=i
*=i
boMadi. Shartga ко‘ra/fx) funksiya uzluksiz, bundan uning integrallanuvchi ekanligi
kelib chiqadi. Demak,
super = Н т£(гя) = limiSXO = inf
Do'stlaringiz bilan baham: | 
